Выберите верный вариант проверки устойчивости стержня гибкость стержня лямбда 25
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае ,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:
Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:
μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней
ℓ — геометрическая длина стержня,
i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.
Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.
При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.
Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов
На основании условия устойчивости решаются три вида задач:
- Проверка устойчивости.
- Подбор сечения.
- Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.
Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:
Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:
1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то:
2 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и если , то:
3 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и т.д.
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница не окажется менее 5%.
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае ,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:
Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:
μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней
ℓ — геометрическая длина стержня,
i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.
Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.
При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.
Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов
На основании условия устойчивости решаются три вида задач:
- Проверка устойчивости.
- Подбор сечения.
- Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.
Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:
Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:
1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то:
2 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и если , то:
3 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и т.д.
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница не окажется менее 5%.
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Продольный изгиб
При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.
Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.
Рассмотрим известные виды равновесия.
Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.
Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.
При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.
При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.
Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.
Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.
Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.
Критическая сила. Критическое напряжение
Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.
При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.
В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:
Критическое напряжение вычисляется следующим образом
, где гибкость стержня ,
а радиус инерции сечения.
Введем понятие предельной гибкости.
Величина λпред зависит только от вида материала:
Если у стали 3 Е=2∙10 11 Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость
Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80
Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λпред критическая сила определяется по формуле Эйлера.
В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ0≤λ≤λпр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.
где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа, b=1,14МПа.
При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.
Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.
Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость. Коэффициент продольного изгиба
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае ,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:
Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:
μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ - геометрическая длина стержня,
i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.
Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.
При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.
Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов
На основании условия устойчивости решаются три вида задач:
- Проверка устойчивости.
- Подбор сечения.
- Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.
Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:
Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:
1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то:
2 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и если , то:
3 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и т.д.
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница не окажется менее 5%.
Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки
Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения.
Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом.
Расчетная длина вычисляется по формуле:
, где
— коэффициент, зависящий от условий закрепления стрежня, а — геометрическая длина. Расчетная длина, также называется привиденной или свободной.
Понятие приведенная длина впервые ввел Ясинский, для обобщения формулы критической силы Эйлера, которую тот выводил для стержня с шарнирно-опертыми концами. Соответственно коэффициент равен при шарнирных концах(основной случай) одному, при одном шарнирном, другом защемленным , при обоих защемленных концах . Схемы деформирования и коэффициенты при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки, изображены на рисунке. Также, стоит отметить, что формула Эйлера верна только для элементов большой гибкости, например для стали она применима при гибкостях порядка и выше.
При расчетах элементов железобетонных конструкций к гибкости предъявляются требования по её ограничению. Также, в зависимости от гибкости назначается величина армирования.
В расчетах стальных конструкций гибкость имеет наибольшее значение ввиду большой прочности стали с вытекающей из этого формой элементов(длинные, небольшой площади) из-за чего исчерпание несущей способности по устойчивости наступает до исчерпания запаса прочности по материалу.
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Продольный изгиб
При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.
Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение.
Рассмотрим известные виды равновесия.
Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.
Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.
При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.
При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.
Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.
Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.
Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.
Критическая сила. Критическое напряжение
Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.
При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.
В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:
Критическое напряжение вычисляется следующим образом
, где гибкость стержня ,
а радиус инерции сечения.
Введем понятие предельной гибкости.
Величина λпред зависит только от вида материала:
Если у стали 3 Е=2∙10 11 Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость
Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80
Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λпред критическая сила определяется по формуле Эйлера.
В упругопластической стадии деформирования стержня, когда значение гибкости находится в диапазоне λ0≤λ≤λпр, (стержни средней гибкости) расчет проводится по эмпирическим формулам, например, можно использовать формулу Ясинского Ф.С. Значения введенных в нее параметров определены эмпирически для каждого материала.
где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа, b=1,14МПа.
При значениях гибкости стержня 0≤λ≤λ0 (стержни малой гибкости) потеря устойчивости не наблюдается.
Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.
Условие устойчивости. Типы задач при расчете на устойчивость. Коэффициент продольного изгиба
Условием устойчивости сжатого стержня является неравенство:
Здесь допускаемое напряжение по устойчивости [σуст] — не постоянная величина, как это было в условиях прочности, а зависящая от следующих факторов:
1) от длины стержня, от размеров и даже от формы поперечных сечений,
2) от способа закрепления концов стержня,
3) от материала стержня.
Как и всякая допускаемая величина, [σуст] определяется отношением опасного для сжатого стержня напряжения к коэффициенту запаса. Для сжатого стержня опасным является так называемое критическое напряжение σкр, при котором стержень теряет устойчивость первоначальной формы равновесия.
Величину коэффициента запаса в задачах устойчивости принимают несколько большей, чем значение коэффициента запаса прочности, то есть если k=1÷2, то kуст=2÷5.
Допускаемое напряжение по устойчивости можно связать с допускаемым напряжением по прочности:
В этом случае ,
где σт – опасное с точки зрения прочности напряжение (для пластичных материалов это предел текучести, а для хрупких – предел прочности на сжатие σвс).
С учетом сказанного условие устойчивости сжатого стержня принимает вид:
Численные значения коэффициента φ выбираются из таблиц в зависимости от материала и величины гибкости стержня , где:
μ – коэффициент приведенной длины (зависит от способов закрепления концов стержня), ℓ - геометрическая длина стержня,
i – радиус инерции поперечного сечения относительно той из главных центральных осей сечения, вокруг которой будет происходить поворот поперечных сечений после достижения нагрузкой критического значения.
Коэффициент φ изменяется в диапазоне 0≤φ≤1, зависит ,как уже говорилось, как от физико-механических свойств материала, так и от гибкости λ. Зависимости между φ и λ для различных материалов представляются обычно в табличной форме с шагом ∆λ=10.
При вычислении значений φ для стержней, имеющих значения гибкости не кратные числу 10, применяется правило линейной интерполяции.
Значения коэффициента φ в зависимости от гибкости λ для материалов
На основании условия устойчивости решаются три вида задач:
- Проверка устойчивости.
- Подбор сечения.
- Определение допускаемой нагрузки (или безопасной нагрузки, или грузоподъемности стержня: [F]=φ[σ]А.
Наиболее сложным оказывается решение задачи о подборе сечения, поскольку необходимая величина площади сечения входит и в левую, и в правую часть условия устойчивости:
Только в правой части этого неравенства площадь сечения находится в неявном виде: она входит в формулу радиуса инерции , который в свою очередь включен в формулу гибкости , от которой зависит значение коэффициента продольного изгиба φ. Поэтому здесь приходится использовать метод проб и ошибок, облеченный в форму способа последовательных приближений:
1 попытка: задаемся φ1 из средней зоны таблицы, находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем и сравниваем со значением φ1 . Если , то:
2 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и если , то:
3 попытка: принимаем , находим , определяем размеры сечения, вычисляем , затем гибкость , по таблице определяем , и т.д.
Процесс приближений продолжается до тех пор, пока разница не окажется менее 5%.
Читайте также: