В чем измеряется гибкость стержня лямбда

Для расчёта на устойчивость должна быть известна критическая сила для заданной стойки. Необходимо установить, по какой формуле следует вычислять критическую силу, т. е. надо сопоставить гибкость стойки с предельной гибкостью для её материала.

Для определения гибкости рассчитываемой стойки вычисляем геометрические характеристики ее поперечного сечения:

Определяем гибкость стойки:

Вычисляем расчетный (действительный) коэффициент запаса устойчивости:

Таким образом, n_у > [n_у] на 5,2%.

Решение

Вырезая узел, в котором сходятся стержни, и составляя уравнения равновесия для действующих на него сил (рис. 2.86)

устанавливаем, что заданная система статически неопре­делима (три неизвестных усилия и два уравнения ста­тики). Ясно, что для расчета стержней на прочность и устойчивость необходимо знать величины продольных сил, возникающих в их поперечных сечениях, т. е. нужно раскрыть статическую неопределимость.

Составляем уравнение перемещений на основе диа­граммы перемещений (рис. 2.87):

или, подставляя значения изменений длин стержней, по­лучаем

Решив это уравнение совместно с уравнениями ста­тики, найдем:

Напряжения в поперечных сечениях стержней 1 и 2 (см. рис. 2.86):

Их коэффициент запаса прочности

Для определения коэффициента запаса устойчивости стержня 3 надо вычислить критическую силу, а это тре­бует определения гибкости стержня, чтобы решить, какой формулой для нахождения N_Kp следует воспользоваться.

Коэффициент запаса устой­чивости

Таким образом, расчет пока­зывает, что коэффициент запаса устойчивости близок к требуемо­му, а коэффициент запаса проч­ности значительно выше требуемого, т. е. при увеличении нагрузки системы потеря устойчивости стержнем 3 вероят­нее, чем возникновение текучести в стержнях 1 и 2.

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаныЭйлером.

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где гибкость стержня ,

а радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости.

где a и b – постоянные, определяемые экспериментальным путем (эмпирические коэффициенты).Так, для стали3 а=310МПа,b=1,14МПа.

Таким образом, пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Формула Эйлера и пределы ее применимости для стальных и деревянных стержней. Другие формулы для определения критической силы

Для шарнирно закрепленного, центрально-сжатого стержня постоянного сечения (рис.8.2). I Формула Эйлера имеет вид:

где Е - модуль продольной упругости материала стержня;

J_min - минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.

Для стержней с другими видами закрепления формулу Эйлера записывают в виде:

где
- приведенная длина стержня;

- коэффициент приведения длины.

Выражение "приведенная длина" означает, что в формуле Эйлера с помощью коэффициента
все случаи закрепления концов стержня можно привести к основному, шарнирному закреплению.

Коэффициент приведения длины
иногда можно оценить по числу полуволн n, по которым выпучится стержень, теряя устойчивость, а именно, можно принять

На рис. 8.2 показаны наиболее часто встречающиеся на практике случаи закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента

Формула Эйлера применима только о пределах выполнения закона Гука, когда критическое напряжение
не превышает предел пропорциональности материала стержня, так как эта формула была введена с помощью зависимости

в свое время полученной на основании закона Гука.

Применимость формулы Эйлера можно определить, оценив гибкость стержня и сравнив эту гибкость с ее предельным значением. Гибкость стержня равна

- минимальный радиус инерции (геометрическая характеристика сечения);

- минимальный момент инерции площади сечения стержня.

Значение предельной гибкости
получается из условия

Предельная гибкость равна

Так, для малоуглеродистой стали, если принять Е = 2x10 5 МПа,

Для повышения несущей способности конструкций в них стремятся использовать стержни возможно меньшей гибкости. Так что расчет реальных конструкций с гибкостью
практически маловероятен. Будем считать
верхней границей значений гибкости реальных стержней.

Следовательно, формула Эйлера для определения критического значения сжимающей силы в виде

применима в случае, если гибкость стержня находится в пределах

(кривая СД на рис. 8.3)

Для малоуглеродистой стали этот диапазон равен

Дата добавления: 2018-04-04 ; просмотров: 2907 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют критическими нагрузками.

Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).

Явление продольного изгиба можно объяснить тем, что к реальному стержню практически невозможно применить основные гипотезы и допущения сопромата - об однородности, изотропности и непрерывности материала. Поэтому при продольном сжатии стержня, даже если сжимающая сила приложена идеально вдоль его оси (что тоже на практике нереально), отдельные волокна этого стержня неодинаково сопротивляются сжатию (из-за неоднородности и анизотропии материала, из которого он изготовлен). В результате, при достижении сжимающей силой критической величины, стержень начинает изгибаться в сторону наименьшего сопротивления волокон.
На практике этому способствует, также, приложение нагрузки не строго вдоль центральной оси сечения. По мере увеличения изгиба и потери стержнем устойчивости возрастают изгибающие нагрузки, поскольку, чем сильнее изгибается стержень, тем дальше от его оси отклоняется линия действия сжимающей силы, образуя возрастающий момент изгиба. По этой причине стержень изгибается все сильнее даже при небольшом возрастании сжимающей силы (прогрессивно растет плечо изгибающего момента этой силы).
В конечном итоге стержень теряет устойчивость, что чаще всего сопровождается его поломкой или неупругой деформацией (безвозратной потерей прямолинейности или начальной формы).

Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F , немного большей критической силы F_кр (см. рисунок 1) .

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора – продольная сила N = F и изгибающий момент М_и .

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической F_кр . Обозначим допускаемую сжимающую силу [F] , тогда:

где: [s_y] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [s_y] > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [s_y] = 1,8….3; для чугунов [s_y] = 5….5,5; для дерева [s_y] = 2,8….3,2.

Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.). В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.), опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».

Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 - 1783) - выдающийся ученый, которого в разных источниках называют швейцарским, немецким и российским. Математик, физик, астроном и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и ряда других прикладных наук.
Эйлер - автор более чем 850 научных работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.

Л. Эйлером была предложена формула для определения величины критической силы F_кр , которая приводится здесь без вывода:

где: Е – модуль упругости первого рода; I_min - наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости; l_п – приведенная длина стержня, которая может быть определена по формуле:

где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента приведения длины представлены на рисунке 2 .

Вывод формулы Эйлера основан на известном законе Гука, который справедлив лишь до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда.
Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение σ_кр , т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при достижении критической силы:

Определим наименьший радиус инерции i_min поперечного сечения стержня:

i_min = √(I_min / A) (здесь √ - знак квадратного корня) .

Перепишем формулу для σ_кр так:

Введем понятие гибкости стержня: λ = μl / i_min . Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

σ_кр = π 2 Е / λ 2 .

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

где: σ_пц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

λ ≥ √( π 2 Е / σ_пц) = λ_пред (здесь √ - знак квадратного корня) .

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.
Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λ_пред , т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:

где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σ_с = F / А .

Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой.

Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:

где: F - действующая нагрузка; [s_y] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости; μ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; Е – модуль продольной упругости.

Далее находят гибкость стержня по формуле: λ = μl / i_min ,

где: i_min = √(I_min / A) , ( А – площадь сечения стержня) .

Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.

Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости s_y и сравнении его с допускаемым:

Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

где: [σ_с] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).

Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.

где λ – гибкость стержня, безразмерная геометрическая характеристика, определяемая размерами стержня и способом его закрепления.

Окончательно формула для критического напряжения выглядит

При выводе формулы Эйлера была использована зависимость (15.2), полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала стержня:

Отсюда значение гибкости, которое соответствует этому условию, составляет

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим λ пред и назовем предельной гибкостью

λ пред = π E σ pr .

Предельная гибкость зависит только от механических свойств материала и имеет постоянное значение. Так для стали марки ВСт3 при

15. Устойчивость сжатых стержней

E = 2,06 10 5 МПа и σ pr = 200–210 МПа по формуле (15.20) λ пред ≈ 100 ;

для древесины сосны и ели (при E = 10 МПа и σ pr = 20 МПа) λ пред = 70 . Тогда условие применимости формулы Эйлера имеет вид

т. е. формула Эйлера применима только к упругим стержням, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

Стержни, для которых выполняется условие (15.21), называются стержнями большой гибкости.

15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского

Формула Эйлера применима при λ ≥ λ пред , т. е. только в случае упругих стержней. Для стержней с гибкостью меньше предельной λ пред , она дает завышенные значения критической силы. Поэтому ис-

пользование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом упругости, является недопустимым.

Теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности сложно, поэтому обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опытных данных.

Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале ХХ в. немецким ученым Л. Тетмаером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским:

где a и b – эмпирические коэффициенты, зависящие от материала стержня и имеющие размерность напряжения. Например, для стали марки ВСт3 их значения таковы: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для чугуна пользуются параболической зависимостью

σ cr = a − b λ+ c λ 2 .

И. В. Богомаз. Механика

Соответствующая критическая сила по формуле Ясинского находится так:

F cr = A ( a − b λ ) .

Условие применимости формулы Ясинского . Формулой Ясин-

ского (15.22) можно пользоваться при условии, если значение σ cr , вычисленное по этой формуле, не превышает предела σ y текучести для пластичного материала и предел σ uc прочности при сжатии для хрупкого материала. Обозначим в формуле (15.22) через λ 0 значение гибкости, при котором σ cr = σ y для пластичного материала и σ cr = σ uc для хрупкого материала.

Тогда условие применимости формулы Ясинского можно записать в виде

Стержни, для которых выполняется условие (15.24), называются стержнями средней гибкости. Для стали марки ВСт3 с параметрами σ pr = 200 МПа, σ y = 240 МПа по формуле (15.22) получим λ 0 ≈ 60 .

Стержни, у которых λ < λ 0 , называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а при центральном сжатии. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ cr = σ y или σ cr = σ uc .

15.7. Диаграмма критических напряжений

В зависимости от гибкости сжатые стержни делятся на три категории:

1. Стержни большой гибкости (λ ≥ λ пред ), для которых расчет ведется по формуле Эйлера. В системе координат σ cr – λ зависимость

σ cr = π 2 2 E может быть представлена гиперболической кривой.

2. Стержни средней гибкости (λ 0 ≤ λ ≤ λ пред ) рассчитываются на устойчивость по эмпирической формуле Ясинского (15.22). Для них зависимость линейна:

15. Устойчивость сжатых стержней

3 . Стержни малой гибкости (λ < λ 0 ) рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них значение σ cr постоянно (σ y или σ uc ).

На рис. 15.6 показана диаграмма зависимости критических напряжений от гибкости сжатого стержня для стали ВСт3, которая состоит из трех частей:

• гиперболы Эйлера АВ при λ ≥ 100;

• наклонной прямой Ясинского ВС при 60 ≤ λ < 100;

• горизонтальной прямой CD при λ 0 < 60.

График показывает, что по мере возрастания гибкости критическое напряжение стремится к нулю. При гибкости λ > 100 стержень теряет устойчивость в упругой стадии. Для значений λ < 100 пунктирной линией показано продолжение гиперболы Эйлера в области ее неприменимости (за пределом упругости). Из графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.

При гибкости 60 < λ < 100 стержень теряет устойчивость в упру- го-пластической стадии (наклонная прямая ВС ). Горизонтальная прямая CD соответствует напряжению, равному пределу текучести.

Применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале значений гибкостей, которые встречаются в строительной практике.

Пример 15.1. Стальной стержень круглого трубчатого сечения D = 10 см и d = 7 см при длине = 3, 2 м имеет шарнирно закрепленные

И. В. Богомаз. Механика

концы (рис. 15.7). Вычислить величину допускаемого сжимающего усилия F , если требуемый коэффициент запаса устойчивости K = 3.

Материал стержня – сталь марки ВСт3 с пределом пропорциональности σ pr = 210 МПа и модулем упругости E = 2 10 5 МПа.

Решение . Величину допускаемой силы F найдем исходя из условия устойчивости F ≤ F K cr , предварительно вычислив критическую силу F cr ,

формулудлякоторойвыберемвзависимостиотгибкостистержня. Определяем геометрические характеристики поперечного сече-

Читайте также:

  
• Замена реле поворотов ваз 2115 видео
  
• Проблема прошивки эбу ларгус
  
• Не работают парктроники тойота камри 40 причина
  
• Гаснет панель приборов мазда 3
  
• Порядок проводов зажигания ауди 80