Найти точечную оценку параметра лямбда

Обновлено: 28.01.2025

Существует несколько методов получения точечных оценок. Метод, который чаще приводит к наилучшим оценкам, называется метод максимального правдоподобия (предложен Р. Фишером).

Пусть – непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Пусть вид плотности распределения данной случайной величины известен, но не известен параметр , которым определяется эта функция.

Определение 16.4. Функция вида:

называется функцией правдоподобия.

Метод максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценок параметра принимается то значение , при котором функция принимает максимальное значение. Экстремум функций и достигается при одних и тех же значениях . Удобнее находить максимум функции . Поэтому критические значения определяются из системы уравнений правдоподобия:

где – число оцениваемых параметров.

Данный метод дает состоятельные оценки. Если существует эффективная оценка, то метод максимального правдоподобия дает эту оценку. Оценки максимального правдоподобия асимптотически эффективны и имеют асимптотически нормальное распределение.

Пример 16.1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра λ показательного распределения:

если в результате испытаний случайная величина распределенная по показательному закону, приняла значения .

Составим функцию правдоподобия, учитывая, что :

Логарифмическая функция правдоподобия:

Найдем первую производную по переменной λ:

Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю:

Отсюда критическая точка равна:

Найдем вторую производную по λ:

При вторая производная отрицательна, следовательно, является точкой максимума. Значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра показательного распределения надо принять величину, обратную выборочной средней: .

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом моментов используют метод максимального (наибольшего) правдоподобия.

Суть метода: составить по специальной формуле функцию правдоподобия $L$, и найти оценку параметра $\theta$ из условия максимизации функции правдоподобия (ФП) на определенной выборке $\$. Иногда ФП заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия $l=\ln L$ (ЛФП), что облегчает расчеты (вычисление производных).

Оценки, полученные данным методом, будут состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными. Несмещенность оценок надо проверять (это метод не гарантирует).

Примеры нахождения оценок по методу наибольшего правдоподобия вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Пример 1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения, если в $n_1$ независимых испытаниях событие A появилось $m_1$ раз и в $n_2$ независимых испытаниях событие A появилось $m_2$ раз.

Пример 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, оценить параметры $a$ и $\sigma^2$ нормального распределения, если в результате $n$ независимых испытаний случайная величина $\xi$ приняла значения $\xi_1, \xi_2,…,\xi_n$.

Пример 3. Случайная величина $X$ (число появлений события $A$ в $m$ независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром $\lambda$. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$ распределения Пуассона.

Пример 4. Случайная величина – время безотказной работы изделия имеет показательное распределение. В таблице приведены данные по времени работы в часах для 1000 изделий. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$.

Пример 5. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку параметра $p$ геометрического распределения: $$P(X=x_i)=(1-p)^ \cdot p,$$ где $x_i$ - число испытаний, произведенных до появления события, $p$ - вероятность появления события в одном испытании.

Пример 6. Методом максимального правдоподобия найти точечную оценку параметра $\lambda$ по данной выборке
Х 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19
n 5 6 7 15 22 27 30 34 35
при условии, что соответствующая непрерывная случайная величина имеет плотность распределения $f(x)=\lambda \exp(\lambda(x-20)), x \le 20$.

Пример 7. Методом максимального правдоподобия найдите оценку параметра $\theta$, если плотность имеет вид $$ f(x)=\frac<\sqrt<2\pi>> \exp (-(x^4-\theta)^2/2) $$ и по наблюдениям 1.4 1.5 3.2 1.4 2.5 3.4 3.1 2.4 3.8 2.6

Теория по ММП

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода наибольшего правдоподобия для чайников? Тогда используйте ссылки ниже для изучения.

Найдите сумму цифр наименьшего значения n , если при делении n на m^3” (n € N, m € N) в неполном частном получается 2, а в остатке 31.

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА. НУЖНО СРОЧНО. В магазин привезли 700 ящиковмандаринов по 12 кг в каждом. После того,как часть мандаринов продали, осталось300 кг. … Сколько килограммов мандариновпродали?

чтобы сварить персиковый компот нужно на каждые 150 г сахара добавить 300 г персиков сколько персиков надо взять для 1350г сахара? С РЕШЕНИЕ ПОЖАЛУ … ЙСТА!! СРОЧНО

Здравствуйте, помогите решить нестандартную задачу, это задали в 6 классе человеку, кумуляту даже в вузе не изучали в России, есть пара вариантов реше … ния, но может кто-то знает как это решать? По переводу примерно следующее: кумулятивная частота показывает количество часов, которое группа людей проводит за рулем каждую неделю. Найти среднее кол-во часов вождения по ответам внизу

Задача про скидку Марина выбрала в магазине юбку за 1000 р и футболку за 800 р. На кассе она узнала, что сегодня на всю одежду скидка 20%. Сколько руб … лей составит стоимость покупки с учётом скидки?

Помогите пжпж!! ДАМ 55 БАЛЛОВ! Какие числа надо вписать в окошки, чтобы равенство стало верным? Запишите в ответ цифры без запятых, пробелов и других … дополнительных символов. дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: ? конец дроби . Ответ: 2 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 8, знаменатель: 36 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 9 конец дроби $ Ответ: 3 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 9, знаменатель: 27 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 3 конец дроби Ответ: 4 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 14, знаменатель: 63 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 9 конец дроби Ответ: 5 Задание 2 Какое число нужно написать в числителе, чтобы равенство стало верным? дробь: числитель: 10, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: ?, знаменатель: 5 конец дроби Ответ: 6 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби ч? Ответ: 7 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ч? Ответ: 8 Задание 2 Сложите дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби числа 40 и дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби числа 60. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 9 Задание 2 Из дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби числа 72 вычтите дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби числа 81. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 10 Задание 2 Треть числа равна 27. Найдите это число. Ответ: 11 Задание 2 Три четверти числа равны 60. Найдите это число. Ответ: 12 Задание 2 Сколько минут в дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ч? В ответе укажите только число. Ответ: 13 Задание 2 Сложите дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби числа 20 и дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби числа 18. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 14 Задание 2 Из дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби числа 56 вычтите дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби числа 33. В ответе напишите полученный результат. Ответ: 15 Задание 2 Представьте число 4 в виде дроби со знаменателем 7. Ответ: 16 Задание 2 Представьте число 3 в виде дроби с числителем 21. Ответ: 17 Задание 2 Даны четыре числа: 1 дробь: числитель: 5, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 21, знаменатель: 11 конец дроби ; дробь: числитель: 19, знаменатель: 16 конец дроби ; 1 дробь: числитель: 8, знаменатель: 11 конец дроби . Запишите в ответ самое большое из данных чисел. Ответ: 18 Задание 2 Даны четыре числа: 1 дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби ; дробь: числитель: 20, знаменатель: 17 конец дроби ; дробь: числитель: 25, знаменатель: 13 конец дроби ; 1 дробь: числитель: 7, знаменатель: 13 конец дроби . Запишите в ответ самое большое из данных чисел. Ответ: 19 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 17, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 20 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 37, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ: 21 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 26, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 22 Задание 2 Найдите значение выражения дробь: числитель: 58, знаменатель: 9 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ: 23 Задание 2 Представьте число 4 в виде дроби со знаменателем 6. Ответ: 24 Задание 2 Представьте число 5 в виде дроби с числителем 35. Ответ: 25 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 27, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 8, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 26 Задание 2 Представьте в виде смешанного числа выражение дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби минус дробь: числитель: 26, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 27 Задание 2 Представьте число 8 в виде дроби со знаменателем 6. Ответ: 28 Задание 2 Запишите число 9 в виде дроби со знаменателем 7. Ответ: 29 Задание 2 Представьте в виде неправильной дроби число 2 дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби . Ответ: 30 Задание 2 Найдите значение выражения дробь: числитель: 47, знаменатель: 9 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби . Ответ:

Найдите наименьшее пятизначное число, которое делится на 45, а все цифры этого числа являются чётными.

Аннотация: Цель работы: практически освоить метод максимального правдоподобия для точечной оценки неизвестных параметров заданного вероятностного распределения случайной величины. Среда программирования — MATLAB.

Теоретическая часть

Метод максимального или наибольшего правдоподобия предложен Р. Фишером [6, 13]. С помощью этого метода производится точечная оценка неизвестных параметров априорно известного закона распределения случайной величины.

Рассмотрим сначала суть метода при оценке параметров дискретного распределения случайной величины [6].

Обозначим вероятность того, что в результате испытания величина примет значение \mbox< >(i=1,2. n)" />
, через .

Определение. Функцией правдоподобия случайной дискретной величины называют функцию аргумента :

$L(x_1,x_2. x_n;\theta)=p(x_1;\theta)p(x_2;\theta) . p(x_n;\theta),$

( 7.1)

где ,\mbox< >x_. x_" />
— фиксированные числа, полученные при измерении случайной величины .

В качестве точечной оценки параметра принимают такое его значение =\theta^(x_1,x_2. x_n)" />
, при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку " />
называют оценкой максимального правдоподобия .

Для упрощения расчетов в рассмотрение вводится логарифм функции правдоподобия , которую называют логарифмической функцией правдоподобия . Функции и достигают максимума при одном и том же значении своего аргумента, поэтому вместо отыскания максимума функции ищут максимум функции . Записывая необходимое условие экстремума функции правдоподобия в случае скалярного параметра, получаем уравнения правдоподобия

$\frac<\partial L(\vec x_n;\theta)><\partial \theta>=0,$

( 7.2)

$\frac<\partial\ln L(\vec x_n;\theta)><\partial \theta>=0,$

( 7.3)

$\vec x_n$

где — заданная выборка случайных величин.

Уравнение правдоподобия (7.3) с логарифмической функцией, как правило, более простое относительно функции правдоподобия (7.2).

Если распределение случайной величины зависит от вектора параметров , то уравнение (7.3) заменяется системой уравнений

$\frac<\partial\ln L(\vec x_n;\theta)><\partial \theta_k>=0,\qquad k=\overline.$

( 7.4)

Именно уравнения (7.3) и (7.4) принято называть уравнениями правдоподобия [13]. Во многих случаях решение системы (7.4), являющейся, как правило, нелинейной, приходится искать численными методами.

Рассмотрим применение метода максимального правдоподобия для оценки параметров непрерывного распределения случайных величин генеральной совокупности .

Пусть — непрерывная случайная величина , которая в результате испытаний приняла значения ,\mbox< >x_. x_" />
. Предполагается, что вид плотности распределения задан, но неизвестен параметр , которым определяется эта функция .

Определение. Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента

$L(x_1,x_2. x_n;\theta)=f(x_1;\theta)f(x_2;\theta) . f(x_n;\theta),$

( 7.5)

$x_<1> где ,\mbox< >x_. x_$
— фиксированные числа.

$\theta$

Оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра распределения непрерывной случайной величины ищут так же, как в случае дискретной величины.

Замечание. Если плотность распределения непрерывной случайной величины определяется двумя неизвестными параметрами и , то функция правдоподобия является функцией двух независимых аргументов и :

$L(x_1,x_2. x_n;\theta_1,\theta_2)=f(x_1;\theta_1,\theta_2)f(x_2;\theta_1,\theta_2) . f(x_n;\theta_1,\theta_2),$

( 7.6)

Как для дискретных распределений, так и для непрерывных точку максимума логарифмической функции распределения аргумента можно искать через необходимое условие экстремума :

Найденную точку максимума " />
принимают в качестве оценки максимального правдоподобия параметра .

Метод максимального правдоподобия имеет ряд достоинств: его оценки, вообще говоря, состоятельны (но они могут быть смещенными), распределены асимптотически нормально (при больших значениях приближенно нормально) и имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками; если для оцениваемого параметра существует эффективная оценка " />
, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение " />
; этот метод наиболее полно использует данные выборки об оцениваемом параметре, поэтому он особенно полезен в случае малых выборок. Недостаток метода состоит в том, что он часто требует сложных вычислений.

Практическая часть

1. Оценка параметра экспоненциального распределения

$\lambda$

Рассматривается пример поиска методом максимального правдоподобия оценки параметра экспоненциального распределения случайной величины, для которой функция плотности имеет вид

$f(x)=\begin<cases>\lambda e^<-\lambda x>,&x\ge0,\\ 0,&x$

( 7.7)

К характеристикам экспоненциального распределения относятся математическое ожидание и дисперсия :

$M[X]=\frac<1><\lambda>,$

( 7.8)

$D[X]=\frac<1><\lambda^2>.$

( 7.9)

Замечание. Во встроенных функциях MATLAB параметром экспоненциального распределения является математическое ожидание случайной величины.

Возможная программная реализация точечной оценки параметра экспоненциального распределения:

Видоизмените программу так, чтобы параметры задачи вводились в одном диалоговом окне .
В соответствии с номером компьютера задайте следующие значения параметра:

№ 1: ; № 2: ; № 3: ; № 4: ; № 5: ;

№ 6: ; № 7: ; № 8: ; № 9: ; № 10: .

Число прогонов программы выберите по равномерному закону из следующих интервалов (в соответствии с номером компьютера):

Аннотация: Цель работы: научиться выполнять прогнозирование временного ряда данных с помощью средств Microsoft Excel и математически. Содержание работы: Анализ временных рядов. Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования. Уравнение тренда временного ряда. Порядок выполнения работы: Изучить методические указания. Выполнить задания с использованием средств MS Excel. Оформить отчет, сделав выводы по заданиям.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Анализ временных рядов

Временной ряд (или ряд динамики) – это упорядоченная по времени последовательность значений некоторой произвольной переменной величины. Тем самым, временной ряд существенным образом отличается от простой выборки данных. Каждое отдельное значение данной переменной называется отсчётом (уровнем элементов) временного ряда.

Временные ряды состоят из двух элементов:

периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения;
числовых значений того или иного показателя, называемых уровнями ряда.

Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

по форме представления уровней: ряды абсолютных показателей, относительных показателей, средних величин;
по количеству показателей, когда определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;
по расстоянию между датами и интервалами времени выделяют равноотстоящие – когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами и неполные (неравноотстоящие) – когда принцип равных интервалов не соблюдается;
по наличию пропущенных значений: полные и неполные временные ряды. Временные ряды бывают детерминированными и случайными: первые получают на основе значений некоторой неслучайной функции (ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах); вторые есть результат реализации некоторой случайной величины;
в зависимости от наличия основной тенденции выделяют стационарные ряды – в которых среднее значение и дисперсия постоянны и нестационарные – содержащие основную тенденцию развития.

Временные ряды, как правило, возникают в результате измерения некоторого показателя. Это могут быть как показатели (характеристики) технических систем, так и показатели природных, социальных, экономических и других систем (например, погодные данные). Типичным примером временного ряда можно назвать биржевой курс, при анализе которого пытаются определить основное направление развития (тенденцию или тренда).

Анализ временных рядов – совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогнозирования. Сюда относятся, в частности, методы регрессионного анализа. Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Прогноз будущих значений временного ряда используется для эффективного принятия решений.

Прогноз, характеристики и параметры прогнозирования

$\pi\rho o\gamma\nu\omega\sigma\iota\varsigma$

Прогноз (от греч. – предвидение, предсказание) – предсказание будущего с помощью научных методов, а также сам результат предсказания. Прогноз – это научная модель будущего события, явлений и т.п.

Прогнозирование, разработка прогноза; в узком значении – специальное научное исследование конкретных перспектив развития какого-либо процесса.

по срокам: краткосрочные, среднесрочные, долгосрочные;
по масштабу: личные, на уровне предприятия (организации), местные, региональные, отраслевые, мировые (глобальные).

К основным методам прогнозирования относятся:

статистические методы;
экспертные оценки (метод Дельфи);
моделирование.

Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии объекта в будущем или альтернативных путях и сроках достижения этих состояний. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.

Прием прогнозирования – одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве приема могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.

Модель прогнозирования – модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможных состояниях объекта прогнозирования в будущем и (или) путях и сроках их осуществления.

Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогноза. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.

Методика прогнозирования – совокупность специальных правил и приемов (одного или нескольких методов) разработки прогнозов.

Прогнозирующая система – система методов и средств их реализации, функционирующая в соответствии с основными принципами прогнозирования. Средствами реализации являются экспертная группа, совокупность программ и т. д. Прогнозирующие системы могут быть автоматизированными и неавтоматизированными.

Прогнозный вариант – один из прогнозов, составляющих группу возможных прогнозов.

Объект прогнозирования – процесс, система, или явление, о состоянии которого даётся прогноз.

Характеристика объекта прогнозирования – качественное или количественное отражение какого-либо свойства объекта прогнозирования.

Переменная объекта прогнозирования – количественная характеристика объекта прогнозирования, которая является или принимается за изменяемую в течение периода основания и (или) периода упреждения прогноза.

Период основания прогноза – промежуток времени, за который используют информацию для разработки прогноза. Этот промежуток времени называют также периодом предыстории.

Период упреждения прогноза – промежуток времени, на который разрабатывается прогноз.

Прогнозный горизонт – максимально возможный период упреждения прогноза заданной точности.

Точность прогноза – оценка доверительного интервала прогноза для заданной вероятности его осуществления.

Достоверность прогноза – оценка вероятности осуществления прогноза для заданного доверительного интервала.

Ошибка прогноза – апостериорная величина отклонения прогноза от действительного состояния объекта.

Источник ошибки прогноза – фактор, способный привести к появлению ошибки прогноза. Различают источники регулярных и нерегулярных ошибок.

Верификация прогноза – оценка достоверности и точности или обоснованности прогноза.

Статистические методы прогнозирования – научная и учебная дисциплина, к основным задачам которой относятся разработка, изучение и применение современных математико-статистических методов прогнозирования на основе объективных данных; развитие теории и практики вероятностно-статистического моделирования экспертных методов прогнозирования; методов прогнозирования в условиях риска и комбинированных методов прогнозирования с использованием совместно экономико-математических и эконометрических (как математико-статистических, так и экспертных) моделей. Научной базой статистических методов прогнозирования является прикладная статистика и теория принятия решений.

Простейшие методы восстановления используемых для прогнозирования зависимостей исходят из заданного временного ряда, т. е. функции, определённой в конечном числе точек на оси времени. Временной ряд при этом часто рассматривается в рамках той или иной вероятностной модели, вводятся другие факторы (независимые переменные), помимо времени, например, объем денежной массы. Временной ряд может быть многомерным. Основные решаемые задачи – интерполяция и экстраполяция. Метод наименьших квадратов в простейшем случае (линейная функция от одного фактора) был разработан К. Гауссом в 1794–1795 гг. Могут оказаться полезными предварительные преобразования переменных, например, логарифмирование. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов при нескольких факторах.

Оценивание точности прогноза (в частности, с помощью доверительных интервалов) – необходимая часть процедуры прогнозирования. Обычно используют вероятностно-статистические модели восстановления зависимости, например, строят наилучший прогноз по методу максимального правдоподобия. Разработаны параметрические (обычно на основе модели нормальных ошибок) и непараметрические оценки точности прогноза и доверительные границы для него (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей). Применяются также эвристические приемы, не основанные на вероятностно-статистической теории: метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания.

Многомерная регрессия, в том числе с использованием непараметрических оценок плотности распределения – основной на настоящий момент статистический аппарат прогнозирования. Нереалистическое предположение о нормальности погрешностей измерений и отклонений от линии (поверхности) регрессии использовать не обязательно; однако для отказа от предположения нормальности необходимо опереться на иной математический аппарат, основанный на многомерной Центральной Предельной Теореме теории вероятностей, технологии линеаризации и наследования сходимости. Он позволяет проводить точечное и интервальное оценивание параметров, проверять значимость их отличия от 0 в непараметрической постановке, строить доверительные границы для прогноза.

Уравнение тренда временного ряда

Рассматривая временной ряд как множество результатов наблюдений изучаемого процесса, проводимых последовательно во времени, в качестве основных целей исследования временных рядов можно выделить: выявление и анализ характерного изменения параметра у, оценка возможного изменения параметра в будущем (прогноз).

Значения временного ряда можно представить в виде: =f(t)+\varepsilon_$" />
, где f (t) – неслучайная функция, описывающая связь оценки математического ожидания со временем, $" />
– случайная величина, характеризующая отклонение уровня от f(t ).

Неслучайная функция f (t) называется трендом. Тренд отражает характерное изменение (тенденцию) y_t за некоторый промежуток времени. На практике в качестве тренда выбирают несколько возможных теоретических или эмпирических моделей. Могут быть выбраны, например, линейная, параболическая, логарифмическая, показательная функции. Для выявления типа модели на координатную плоскость наносят точки с координатами ( t, y_t ) и по характеру расположения точек делают вывод о виде уравнения тренда. Для получения уравнения тренда применяют различные методы: сглаживание с помощью скользящей средней, метод наименьших квадратов и другие.

Уравнение тренда линейного вида будем искать в виде y_t=f(t ), где f (t) = a₀+a₁(t ).

Пример 1. Имеется временной ряд:

Построим график x_ti во времени. Добавим на графике линию тренда исходных значений ряда. При этом, щелкнув правой кнопкой мыши по линии тренда, можно вызвать контекстное меню "Формат линии тренда", а в нем поставить флажок "показывать уравнение на диаграмме", тогда на диаграмме высветится уравнение линии тренда, вычисленное встроенными возможностями Excel .

Чтобы определить уравнение тренда, необходимо найти значения коэффициентов а₀ и а₁. Эти коэффициенты следует определять, исходя из условия минимального отклонения значений функции f (t) в точках t_i от значений исходного временного ряда в тех же точках t_i . Это условие можно записать в виде (на основе метода наименьших квадратов):

$\sum\limits_<t=1> ^[x_-a_-a_t]^\rightarrow min\eqno(1)$

где n – количество значений временного ряда.

$\sum\limits_<t=1> Для того, чтобы найти значения а0 и а1, необходимо иметь систему из двух уравнений. Эти уравнения можно получить, используя условие равенства нулю производной функции в точках её экстремума. В нашем случае эта функция имеет вид ^[x_-a_-a_t]^$
. Обозначим её через Q . Найдем производные функции Q(а₀, а₁) по переменным а₀ и а₁. Получим систему уравнений:

$\left\<\begin \frac>=-2\sum\limits_^(x_-a_-a_t)=0;\\ \frac<da_>=-2\sum\limits_^(x_-a_-a_t)t=0; \end \right.$

Полученная система может быть преобразована (математически) в систему так называемых нормальных уравнений. При этом уравнения примут вид:

$\left\<\begin \sum\limits_^x_=n\cdot a_+a_\cdot \sum\limits_^t;\\ \sum\limits_^x_\cdot t=a_\cdot \sum\limits_^t+a_\cdot \sum\limits_^t^. \end \right.\eqno(2)$

Теперь необходимо решить преобразованную систему уравнений относительно а₀ и а₁. Однако предварительно следует составить и заполнить вспомогательную таблицу:

Подставив значения n = 10 в систему уравнений (2), получим

$\left\<\begin 64=10\cdot a_+a_\cdot 55;\\ 449=a_\cdot 55+a_\cdot 385. \end \right.$

Решив систему уравнений относительно а₀ и а₁, получим а₀ = -0,035, а₁ = 1,17. Тогда функция тренда заданного временного ряда f (t) имеет вид:

Читайте также: