При каких значениях параметра лямбда квадратичная форма заданная матрицей положительно определена

Обновлено: 08.01.2025

Рассмотрим вещественные (действительные) квадратичные формы, коэффициенты которых являются действительными числами, а переменные принимают действительные значения. Любую вещественную форму можно привести к каноническому виду

при помощи линейной невырожденной замены переменных с действительной матрицей (см. теорему 6.1 и п.2 замечаний 6.4). Коэффициенты квадратичной формы являются действительными числами.

Количество положительных (отрицательных) коэффициентов в каноническом виде (6.18) называется положительным (отрицательным) индексом квадратичной формы , а разность положительного и отрицательного индексов называется сигнатурой квадратичной формы . В примере 6.10 квадратичная форма была приведена к каноническому виду . Её положительный индекс , отрицательный индекс равен 1, а сигнатура Замечания 6.7

1. Согласно пункту 2 замечаний 6.5 количество ненулевых коэффициентов в (6.18) равно рангу квадратичной формы. Перенумеруем переменные так, чтобы в сумме (6.18) первыми были слагаемых с положительными коэффициентами, затем слагаемых с отрицательными коэффициентами, а остальные слагаемые с нулевыми коэффициентами. Всего будет отличных от нуля слагаемых . Если сделать невырожденную замену переменных

то получим нормальный вид квадратичной формы

в котором коэффициенты равны либо единице, либо минус единице (переменные входят с нулевыми коэффициентами).

2. Из четырех величин: ранта, положительного и отрицательного индексов и сигнатуры, достаточно знать любые две, чтобы вычислить остальные. Например, если известны ранг и положительный индекс (см. форму (6.19)), то отрицательный индекс равен , а сигнатура .

Теорема 6.3 о законе инерции квадратичных форм. Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.

Из теоремы 6.3 следует, что два канонических вида одной и той же квадратичной формы имеют:

а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (которое определяется рангом квадратичной формы);

б) одинаковое количество слагаемых одного знака.

В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к нормальному виду (6.19)

невырожденной заменой переменных , а невырожденной заменой переменных — к другому нормальному виду:

причем число в этих формулах одно и то же (см. пункт 1 замечаний 6.5). Докажем, что положительные индексы равны. Предположим противное. Пусть . Поскольку замены переменных невырожденные, то и , подберем такое ее решение . Для этого составим однородную систему, выбрав первые и последние уравнений системы

Получили однородную систему уравнений с неизвестными. Так как , то число уравнений меньше количества неизвестных. Поэтому система имеет нетривиальное решение

т.е. и одновременно, чего не может быть. Заметим, что при и оба неравенства выполняются для любого ненулевого вектора приводит к противоречию. К аналогичному противоречию приводит предположение . Значит, . Другими словами, положительный индекс квадратичной формы не зависит от способа ее приведения к каноническому виду. Ранг формы также не зависит от выбора невырожденной замены переменных. В силу пункта 2 замечаний 6.7 делаем аналогичный вывод для отрицательного индекса и сигнатуры.

Знакоопределенность вещественных квадратичных форм

Вещественная квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной , если для любых . Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются определенными (знакоопределенными) . Если неравенство выполняется для любых значений неотрицательно (неположительно) определенной . В этом случае говорят, что квадратичная форма полуопределенная . Если же квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то она называется неопределенной (знакопеременной) . Определенность, полуопределенность и неопределенность квадратичных форм обозначается неравенствами

Поскольку каждой вещественной квадратичной форме соответствует ее матрица, то эта терминология переносится на действительные симметрические матрицы. Например, симметрическая матрица положительно определенной , если такой является квадратичная форма соответственно.

Пример 6.11. Исследовать знакоопределенность квадратичных форм

Решение. 1) Выделим полный квадрат по переменной

Следовательно, данная форма положительно определенная.

2) Квадратичная форма не является положительно определенной, так как для . В силу неравенства эта форма неотрицательно определенная.

3) Квадратичная форма неопределенная, так как она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, .

1. Положительно определенная квадратичная форма приводится к нормальному виду (6.19) , т.е. — положительный индекс , ранг и сигнатура равны количеству ее переменных. Отрицательный индекс равен нулю. Согласно теореме 6.3, они не изменяются при невырожденной замене переменных.

2. Дискриминант положительно определенной квадратичной формы больше нуля, т.е. 3. Неотрицательно определенная квадратичная форма приводится к нормальному виду (6.19) , то есть — положительный индекс , ранг и сигнатура равны, но меньше количества переменных. Отрицательный индекс равен нулю.

4. Для отрицательно (неположительно) определенных квадратичных форм справедливы утверждения аналогичные пунктам 1-3, так как знаки форм и противоположные.

Критерий Сильвестра

Теорема 6.4 (критерий Сильвестра). Для того чтобы вещественная квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны:

Для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров ее матрицы чередовались, начиная с отрицательного:

В самом деле, рассмотрим первое утверждение теоремы (о положительной определенности). Достаточность условий (6.20) следует из теоремы 6.3 (теоремы Якоби), так как при выполнении этих неравенств квадратичная форма приводится к каноническому виду

с положительными коэффициентами при квадратах переменных . Ясно, что для всех , т.е. для всех .

Для доказательства необходимости рассмотрим квадратичную форму переменных . Матрица этой формы представляет собой левый верхний блок матрицы данной квадратичной формы (звездочкой , как обычно, обозначены блоки, не существенные для рассуждений). Из положительной определенности следует положительная определенность формы . Тогда из пункта 2 замечаний 6.8 следует, что , но — угловой минор k-го порядка матрицы для , что и требовалось доказать. Второе утверждение сводится к первому, если рассмотреть квадратичную форму (см. пункт 4 замечаний 6.8).

Критерий полуопределенности квадратичной формы

Теорема 6.5 (критерий полуопределенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были неотрицательны.

Для неположительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы удовлетворяли условиям:

Условия (6.22) означают, что главные миноры четного порядка должны быть неотрицательны, а нечетного порядка — неположительны. Для доказательства теоремы используется критерий Сильвестра.

Пример 6.12. Выяснить знакоопределенность квадратичных форм с матрицами

Решение. Матрица , так как ее угловые миноры положительны . Следовательно, квадратичная форма положительно определенная (см. теорему 6.4). Этот вывод подтверждается выделением полных квадратов: , т.е. квадратичная форма знакоопределенная.

Матрица . Проверим условия (6.22):

Условия выполняются, значит, матрица В является неположительно определенной . Следовательно, квадратичная форма неположительно определенная. Этот вывод подтверждается выделением полного квадрата:

т.е. для всех которых , справедливо равенство , а для остальных .

Матрица не является положительно или отрицательно определенной, так как ее угловые миноры не удовлетворяют критерию Сильвестра: . Кроме того, эти миноры не удовлетворяют критерию полуопределенности (см. теорему 6.5). Следовательно, матрица неопределенная . Тогда и квадратичная форма неопределенная. Действительно, выпишем

главные миноры первого порядка: ;

главные миноры второго порядка: ;

главный минор третьего порядка: .

Так как среди них есть хотя бы один отрицательный, то квадратичная форма не является неотрицательно определенной. Поскольку среди главных миноров четного порядка есть отрицательный (среди главных миноров нечетного порядка есть положительный), то квадратичная форма не является неположительно определенной. Нетрудно заметить, что при , а при , т.е. квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, следовательно, является знакопеременной (неопределенной).

а) Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа, выписать преобразование координат.

б) Найти положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы

в) Исследовать на знакоопределенность двумя способами: по каноническому виду и по критерию Сильвестра.

a) Приведём к каноническому виду методом Лагранжа, то есть выделим полные квадраты:

где соответствующее преобразование координат имеет вид:

б) определим положительный и отрицательный индексы и ранг квадратичной формы по её каноническому виду

в) исследуем на знакоопределенность

-по каноническому виду:

значит квадратичная форма знаконеопределена.

-по критерию Сильвестра: выпишем матрицу данной квадратичной формы

и вычислим главные миноры

квадратичная форма знаконеопределена.

При каком значении параметра квадратичная форма

Решение: Выпишем матрицу квадратичной формы:

и исследуем ее по критерию Сильвестра. Вычислим главные миноры:

Согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры положительны. В нашем случае минор

Ответ: квадратичная форма положительно определена при

Исследовать тип поверхности, заданной уравнением

в зависимости от значения параметра

Решение. Приведём квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа

Введём новые координаты

тогда уравнение поверхности второго порядка примет вид

Заметим, что канонический вид зависит от способа приведения квадратичной формы к такому виду. Но важным является факт, что остаются неизменными характеристики квадратичной формы, а именно ранг – количество квадратов в каноническом виде, положительный индекс – количество квадратов с плюсом, и отрицательный индекс – количество квадратов с минусом.

Продолжим исследование типа поверхности в зависимости от характеристик формы.

уравнение поверхности примет вид

и это уравнение задаёт в геометрическом пространстве двуполостный гиперболоид.

2) Если уравнение примет вид

и будет определять цилиндрическую поверхность (а именно гиперболическую)

тогда уравнение примет вид

и будет задавать в пространстве однополостный гиперболоид.

Задача полностью решена.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В зависимости от значений параметра исследовать тип поверхности, заданной уравнением

2. Исследовать квадратичную форму на знакоопределённость в зависимости от значения параметра

Например, квадратичная форма Q (x₁, x₂, x₃) = 3x₁ 2 + 5x₂ 2 + 4x₃ 2 является, очевидно, положительно определенной. А форма Q (x₁, x₂, x₃) = (4x₁ – 5x₂ – x₃) 2 = = 16x₁ 2 – 40x₁x₂ – 8x₁x₃ + 25x₂ 2 + 10x₂x₃ + x₃ 2 является неотрицательно определенной, т. к. она обращается в нуль, например, при x = (x₁, 0, 4x₁) ¹ 0, если x₁ ¹ 0.

Теоремa 15.2. Для того чтобы квадратичная форма Q (x) = (x, Аx) была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения l₁, l₂,…, l_n матрицы А квадратичной формы были положительными (отрицательными). Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательно (неположительно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения l₁, l₂,…, l_n матрицы квадратичной формы были неотрицательными (неположительными), среди которых найдутся нулевые.

Доказательство. Необходимость. Пусть Q (x) = (x, Аx) > 0, "x ¹ 0. Если l_i – собственное значение матрицы А, соответствующее собственному вектору x i , i = 1, 2. n, то Q (x i ) = (x i , Ax i ) = (x i , l_ix i ) = l_i(x i , x i ) > 0. Отсюда, т. к. (x i , x i ) > 0, получаем, что l_i > 0, i = 1, 2. n.

Достаточность. Пусть l_i > 0, i = 1, 2. n. Тогда из формулы (15.4) следует, что Q (x) > 0, "x ¹ 0.

Аналогично проводится доказательство для отрицательно (неотрицательно, неположительно) определенной квадратичной формы.¨

Следствие. Матрица знакоопределенной квадратичной формы является невырожденной. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен. Определитель матрицы неотрицательно (неположительно) определенной квадратичной формы равен нулю.

Доказательство. Пусть Т – матрица ортогонального преобразования, приводящая квадратичную форму с матрицей А к каноническому виду с матрицей L = diag (l₁, l₂,…, l_n). Тогда имеем

L = Т – 1 АТ Û А = ТLТ – 1 Þ | A | = | T |×| L |×| Т – 1 | = | L | = l₁l₂…l_n.

Отсюда и из теоремы 15.2 вытекает справедливость данного следствия.¨

Из теоремы 15.2 следует, что преобразование z_i = при l_i ¹ 0, z_i = y_i при l_i = 0, i = 1, 2. n, приводит канонический вид (15.3) квадратичной формы к виду

где e_i = ± 1 при l_i ¹ 0, e_i = 0 при l_i = 0, i = 1, 2. n.

Определение 15.4. Канонический вид (15.5) называется нормальным видом квадратичной формы.

Определение 15.5. Пусть A = [a_ij], i, j = 1, 2. n, – квадратная матрица. Угловыми минорами порядков 1, 2,…, n матрицы А называются все миноры соответствующих порядков, расположенные в левом верхнем углу матрицы А:

Теоремa 15.3 (критерий Сильвестра* положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма Q (x) = (x, Аx) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы A были положительны:

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратичная форма положительно определена. Тогда | А | > 0 в силу следствия из теоремы 15.2. Для вектора x = (x₁, 0. 0) ¹ 0 имеем Q (x) = a₁₁x₁ 2 > 0 Þ a₁₁ > 0. Если x = (x₁, x₂, 0. 0) ¹ 0, то на основании того же следствия имеем

Q (x) = .

Продолжая этот процесс последовательно, получим все соотношения (15.7).

Достаточность. Доказывается методом математической индукции по числу переменных квадратичной формы с помощью теорем 15.1, 15.2 и формулы (15.5).¨

Замечание 1. Если квадратичная форма является неотрицательно определенной, то все угловые миноры (15.6) ее матрицы неотрицательны. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 15.3 с учетом теорем 15.1 и 15.2.

Замечание 2. Очевидно, квадратичная форма Q (x) является отрицательно (неположительно) определенной тогда и только тогда, когда квадратичная форма – Q (x) является положительно (неотрицательно) определенной. Матрицы этих двух форм отличаются друг от друга только множителем – 1. Следовательно, согласно свойству 3 определителей, их угловые миноры одинакового четного порядка равны, а угловые миноры одинакового нечетного порядка различаются лишь знаком.

Следствие (критерий отрицательной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма Q (x) = (x, Аx) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры нечетных порядков матрицы A были отрицательны, а все угловые миноры четных порядков матрицы A были положительны:

Замечание 3. Если квадратичная форма является неположительно определенной, то все угловые миноры нечетных порядков ее матрицы неположительны, а все угловые миноры четных порядков ее матрицы неотрицательны. Данное утверждение вытекает из замечаний 1 и 2.

Пример 4. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

Решение. Матрица этой формы имеет вид .

Вычислим значения всех угловых миноров матрицы A:

В соответствии с критерием Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.·

Задача 7. Дана матрица линейного оператора в : .

1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).

2) Привести квадратичную форму, заданную матрицей в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид.

3).Определить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.

4) Построить линии уровня квадратичной формы.

1) Определение. Пусть в задан линейный оператор (матрица) , вектор , , удовлетворяющий условию (1), где - некоторое число, называется собственным вектором линейного оператора, а - собственным значением (или числом) линейного оператора.

Если - матрица линейного оператора в некотором базисе, а координаты собственного вектора в этом базисе , то записывая соотношением (1) в координатной форме, получим:

(2)

Для отыскания собственного вектора, необходимо найти ненулевые решения этой однородной системы уравнений, которые существуют тогда и только тогда, когда

. (3)

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением, его корни являются собственными значениями линейного оператора (матрицы) . Подставляя это число в (2), найдем ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор.

Составим характеристическое уравнение (3) для заданной матрицы :

Отсюда корни , – собственные значения линейного оператора.

Найдем собственные векторы, соответствующие числу . При система (2) имеет вид:

Общее решение этой системы , где , т.е. собственные векторы, соответствующие собственному числу имеют вид:

, где , .

Например, при один из них: .

Аналогично найдем собственные векторы, соответствующие числу . Система (2) при имеет вид:

Общее решение , где . Отсюда собственные векторы, соответствующие собственному числу имеют вид:

, где , .

Например, .

2) Определение. Рассмотрим в произвольную симметричную матрицу (линейный оператор) , пусть - произвольный вектор. Квадратичной формой от n переменных называется скалярная функция вида:

. (4)

В пространстве она имеет вид:

, (5)

где .

Теорема. Пусть – квадратичная форма в евклидовом пространстве и – самосопряженный оператор, соответствующий этой форме. Тогда в существует ортонормированный базис , в котором приводится к каноническому виду:

, (6)

где – координаты вектора в базисе , этот базис можно взять из нормированных собственных векторов оператора с учетом кратности.

Из доказательства этой теоремы следует, что элементами этой диагональной матрицы будут собственные значения матрицы A:

. (7)

В канонический вид квадратичной формы (5):

, (8)

где - координаты вектора в указанном ортонормированном базисе .

Для заданной матрицы A квадратичная форма имеет вид:

Учитывая решение в пункте 1 ( ) в силу указанной теоремы в новом базисе квадратичная форма примет вид:

- канонический вид.

Найдем ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. В пункте 1 мы нашли, что в качестве собственных векторов можно взять

, .

Пронормируем их, для этого найдем:

, а .

Легко убедиться, что , т.к. и . Построим векторы:

-1 0 1

3)Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если

(9)

и отрицательно определенной, если

. (10)

Положительные и отрицательные формы иногда называют знакопостоянными.

Теорема. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, если и только если положительны (отрицательны) все соответствующие собственные значения соответствующего форме оператора.

Итак, положительная (отрицательная) определенность формы в общем случае легко устанавливается путем ее приведения к диагональному виду. Однако в отдельных случаях имеет большой интерес и непосредственный признак знакопостоянства формы. Из них мы рассмотрим так называемый критерий Сильвестра.

Критерий Сильвестра. Пусть – квадратичная форма в евклидовом пространстве и – матрица соответствующего оператора в некотором базисе. Тогда:

а) положительно определена, если и только если все угловые миноры матрицы положительны, т.е.

, , , и т.д.

б) отрицательно определена, если и только если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака минус, т.е.

, , и т.д.

Т.к. , , то по теореме, квадратичная форма знаконеопределена. Тот же вывод можно сделать и по критерию Сильвестра, т.к. .

4) Определение. Линия, заданная уравнением:

, где СÎR,

называется линией уровня квадратичной формы .

Согласно выше приведенной теореме, в ортонормированном базисе, составленном из нормированных собственных векторов матрицы A, линия уровня (9) имеет вид:

, (10)

где - собственные значения матрицы A.

Построим линии уровня квадратичной формы для заданной матрицы A, если и .

Согласно решению в пункте 2, она имеет канонический вид:

При линия уровня задается уравнением:

или .

Это уравнение гиперболы в системе координат , - полуоси гиперболы, - действительная ось, - мнимая ось.

При линия уровня задается уравнением:

Это уравнения прямых линий в системе координат (асимптоты рассмотренной выше гиперболы).

Читайте также: