Как найти лямбда матрицы
Обратная матрица A −1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:
Свойства обратной матрицы
Методы вычисления обратной матрицы
Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы
Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.
Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.
Решение: Приписываем к матрице A справа единичную матрицу третьего порядка:
| A|E = | 2 | 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ |
| 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Преобразуем левую часть полученной матрицы в единичную. Для этого от 3-тей строки отнимем 1-ую строку:
| ~ | 2 | 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ |
| 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 2 - 2 | 1 - 4 | 1 - 1 | 0 - 1 | 0 - 0 | 1 - 0 |
| ~ | 2 | 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ |
| 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | -3 | 0 | -1 | 0 | 1 |
Третью строку поделим на (-3) и поменяем местами со второй строкой:
| ~ | 2 | 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ |
| 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 |
| ~ | 2 | 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | ||
| 0 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Отнимем он 1-ой строки 2-ую умноженную на 4; от 3-тей строки 2-ую умноженную на 2:
| ~ | 2 - 4·0 | 4 - 4·1 | 1 - 4·0 | 1 - 4·(1/3) | 0 - 4·0 | 0 - 4·(-1/3) | ~ |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | ||
| 0 - 2·0 | 2 - 2·1 | 1 - 2·0 | 0 - 2·1/3 | 1 - 2·0 | 0 - 2·(-1/3) |
| ~ | 2 | 0 | 1 | -1/3 | 0 | 4/3 | ~ |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | ||
| 0 | 0 | 1 | -2/3 | 1 | 2/3 |
Отнимем он 1-ой строки 3-ую строку:
| ~ | 2 - 0 | 0 - 0 | 1 - 1 | -1/3 - (-2/3) | 0 - 1 | 4/3 - 2/3 | ~ |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | ||
| 0 | 0 | 1 | -2/3 | 1 | 2/3 |
| ~ | 2 | 0 | 0 | 1/3 | -1 | 2/3 | ~ |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | ||
| 0 | 0 | 1 | -2/3 | 1 | 2/3 |
Разделим 1-ую строку на 2:
| ~ | 1 | 0 | 0 | 1/6 | -1/2 | 1/3 |
| 0 | 1 | 0 | 1/3 | 0 | -1/3 | |
| 0 | 0 | 1 | -2/3 | 1 | 2/3 |
| Ответ: A -1 = | 1/6 | -1/2 | 1/3 |
| 1/3 | 0 | -1/3 | |
| -2/3 | 1 | 2/3 |
Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы
Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.
| det(A) = | 2 | 4 | 1 | = |
| 0 | 2 | 1 | ||
| 2 | 1 | 1 |
= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 - 1·2·2 - 2·1·1 - 4·0·1 = 4 + 8 + 0 - 4 - 2 - 0 = 6
Найдем определитель, если он не равен 0, то существует обратная матрица:
detA = 1 + 0 + 9α - 0 - 6 - α = -5 + 8α ≠ 0
8α ≠ 5
α ≠ 5/8 = 0,625
Новые вопросы в Математика
Сторона PT треугольника OPT равна 12, синус углов O и T относятся как 4 : 7 соответственно. Найдите стороны OP
Дано зображення прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1. Яка з указаних площин паралельна прямій DC?
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
Матрицы: основные определения и понятия
Задание. Чему равен элемент $ a_ $ матрицы $ A=\left( \begin & & \\ & & \end\right) $ ?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, $a_=7$.
Ответ. $a_=7$
Умножение матрицы на число
Теоретический материал по теме - умножение матрицы на число.
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Пусть $A=\left( \begin \\ \end\right)$ . Найти матрицу 2$A$.
Ответ. $2 A=\left( \begin \\ \end\right)$
Сложение и вычитание матриц
Теоретический материал по теме - сложение и вычитание матриц.
Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right), B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right)$
Умножение матриц
Теоретический материал по теме - умножение матриц.
Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right), B=\left( \begin & \\ & \end\right)$
Решение. Так как $A=A_$ , а $B=B_$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_$ , а это матрица вида $C=\left( \begin> & > \\ > & > \\ > & >\end\right)$ .
Вычисли элементы матрицы $C$ :
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $
$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $
Выполним произведения в более компактном виде:
Найдем теперь произведение $D=B A=B_ \cdot A_$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $A B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .
Транспонирование матрицы
Теоретический материал по теме - транспонирование матрицы.
Задание. Найти матрицу $A^$, если $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$
Минор и алгебраическое дополнение
Задание. Найти минор $M_$ к элементу $a_$ определителя $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ .
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_$ к элементу $a_$ определителя $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ .
Вычисление определителя
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin & \\ & \end\right|$
Решение. $\left| \begin & \\ & \end\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$ методом треугольников.
Решение. $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end\right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Ответ. $\Delta=-80$
Нахождение обратной матрицы
Задание. Для матрицы $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
От второй строки отнимаем две первых:
Первую и вторую строки меняем местами:
От второй строки отнимаем две первых:
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $A^=\left( \begin & \\ & \end\right)$
Задание. Найти обратную матрицу для $A=\left( \begin & \\ & \end\right)$
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $\Delta=\left| \begin & \\ & \end\right|=2-1=1 \neq 0$
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=\left( \begin & & \\ & & \\ & & \end\right)$
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$\Delta=\left| \begin & & \\ & & \\ & & \end\right|=1 \cdot(-1) \cdot(-1)+2 \cdot 3 \cdot 2+0 \cdot 1 \cdot 1-$
$-1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^$ к матрице $A$ находится по формуле:
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
Нахождение ранга матрицы
Теоретический материал по теме - нахождение ранга матрицы.
Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:
Меняем местами первую и вторую строчки:
Далее четвертую и первую строки:
Ответ. $\operatorname A=2$
Задание. Найти ранг матрицы $A=\left( \begin & & & \\ & & & \\ & & & \end\right)$ , используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_=1 \neq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_^=\left| \begin & \\ & \end\right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_^=\left| \begin & \\ & \end\right|=5 \neq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_^$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $\operatorname A=2$
Найти ранг матрицы в зависимости от значения параметра α
|α 0 -1 2| А=|-2α 0 -2 4| |0 0 α 0| Просто подставить любое значение вместе.
Заполнить матрицу 3*3 случайными числами, найти ранг матрицы вывод ранга матрицы в отдельный файл
помогите написать программу на фортране:заполнить матрицу 3*3 случайными числами, найти ранг.
Чемпионат по разгадыванию ребусов - 3
Я пропустил какое-то объявление о его начале?
Я догадался. Нужно навести мышку на матрицу и увидеть теховский исходник. Там видно, в каких местах стоят пробелы.
Матрицы нужно писать в круглых (pmatrix) или квадратных (bmatrix) скобках. В прямых скобках пишется определитель матрицы. Элементы матрицы нужно разделять &.
Что именно вы не поняли? Вы привели хоть одну матрицу к ступенчатому виду? Чем эта матрица принципиально отличается? Наличие переменной не является существенным отличием.
А вот здесь вы демонстрируете, что вы не знаете, как связан ранг и ступенчатая форма матрицы. Иногда ранг даже определяется через ступенчатую форму.
Я буду писать x вместо . Переставляем первую и последнюю строки.
Из второй строки вычитаем первую, а из третьей — первую, умноженную на x+ 2.
Если x = 1, то матрица есть , и ее ранг равен 2. Иначе делим вторую строку на x - 1.
К последней строке прибавляем вторую, умноженную на 2x - 2.
Если , то ранг равен 2, иначе 3.
Найти ранг матрицы
Найти ранг прямоугольной матрицы . Желательно методом Гаусса , но не принципиально .
Найти ранг матрицы
Добрый день, друзья. Буду благодарен, если вы бы дали мне какие - нибудь подсказки для решения.
Найти ранг матрицы
Подскажите пожалуйста каким образом можно найти ранг матрицы NxM используя datagridview
Найти ранг матрицы В
требуется найти ранг матрицы В, помогите, пожалуйста! : В =( 1 3 5 1 0 2 1 0 .
Найти ранг матрицы
Найти ранг прямоугольной матрицы A(m,n) методом Гаусса.Покажите пожалуйста на примере как.
Читайте также: