В вертикальном закрытом цилиндре находится идеальный газ

Обновлено: 09.01.2025

Физика

Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем , необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:

постоянным остается также количество вещества (газа):

плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:

ρ ≠ const, n ≠ const.

Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы F → (рис. 5.9).

Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:

p 1 V 1 = ν R T 1 , p 2 V 2 = ν R T 2 , >

где p 1 , V 1 , T 1 — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p 2 , V 2 , T 2 — давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:

M g + F A = F 1 , M g + F A + F = F 2 , >

где M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; S — площадь сечения поршня; F 1 — модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа в сосуде в начальном состоянии; F — модуль силы, вызывающей сжатие газа; F 2 — модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа в сосуде в конечном состоянии.

Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:

если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется —

если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –

Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:

если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем — неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) — p = const;
в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется — p ≠ const.

Масса поршня , закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:

если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю —

в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой —

Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм 2 и массой 1,80 кг находится 360 см 3 газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см 3 . Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 1 , действующая со стороны газа (до его сжатия);
сила давления газа F → 2 , действующая со стороны газа (после его сжатия);
m g → — вес гирь.

Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:

до сжатия газа —

где F 1 — модуль силы давления газа, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа до сжатия; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; g — модуль ускорения свободного падения;

после сжатия газа —

F 2 = Mg + F A + mg ,

где F 2 — модуль силы давления газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа после сжатия; mg — вес гирь; m — масса гирь.

Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:

до его сжатия —

где V 1 — первоначальный объем газа под поршнем; ν — количество газа под поршнем; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

после его сжатия —

где V 2 — объем сжатого поршнем газа.

p 1 V 1 = p 2 V 2

и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p 1 S = M g + p A S , p 2 S = M g + p A S + m g , p 1 V 1 = p 2 V 2 , >

которую требуется решить относительно массы гирь m .

Для этого выразим отношение давлений p 2 / p 1 из первой пары уравнений:

p 2 p 1 = M g + p A S + m g M g + p A S

и из третьего уравнения:

p 2 p 1 = V 1 V 2 ,

запишем равенство правых частей полученных отношений:

M g + p A S + m g M g + p A S = V 1 V 2 .

Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой

m = ( M + p A S g ) ( V 1 V 2 − 1 ) .

Вычисление дает результат:

m = ( 1,80 + 100 ⋅ 10 3 ⋅ 250 ⋅ 10 − 6 10 ) ( 360 ⋅ 10 − 6 240 ⋅ 10 − 6 − 1 ) = 2,15 кг.

Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.

Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см 2 плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:

сила тяжести пластины M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 2 , действующая на пластину со стороны нагретого газа.

Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:

где F 2 — модуль силы давления нагретого газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление нагретого газа; S — площадь сечения сосуда; Mg — модуль силы тяжести пластины; M — масса пластины; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

для газа в сосуде до его нагревания

где p 1 — давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p 1 = p A ; V — объем газа в сосуде; ν — количество вещества (газа) в сосуде; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 — температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);

для газа в сосуде после его нагревания

где p 2 — давление нагретого газа; T 2 — температура нагретого газа.

Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p A V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , p 2 S = M g + p A S ; >

систему необходимо решить относительно температуры T 2 , до которой следует нагреть газ.

Для этого делением первой пары уравнений

p A V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

получим выражение для давления нагретого газа:

p 2 = p A T 2 T 1

и подставим его в третье уравнение системы:

p A T 2 S T 1 = M g + p A S .

Преобразуем полученное выражение к виду

T 2 = T 1 ( M g + p A S ) p A S = T 1 ( M g p A S + 1 ) ,

а затем найдем разность

Δ T = T 2 − T 1 = M g T 1 p A S .

Δ T = 1,2 ⋅ 10 ⋅ 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 36 К = 36 °С.

Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см 2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → , действующая на поршень со стороны нагретого газа.

Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением a → :

F → + F → A + M g → = m a → ,

или в проекции на вертикальную ось —

где F — модуль силы давления газа под поршнем, F = pS ; p — давление газа; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; a — модуль ускорения поршня.

Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:

a = F − F A − M g M = ( p − p A ) S M − g .

Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением

где l — пройденный путь; v — модуль скорости поршня.

Выразим отсюда модуль скорости поршня:

и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:

v = 2 l ( ( p − p A ) S M − g ) .

v = 2 ⋅ 3,75 ( ( 450 − 100 ) ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4 75,0 − 10 ) ≈ 10 м/с.

После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.

В вертикальном закрытом цилиндре находится идеальный газ

Варианты задач ЕГЭ
разных лет
(с решениями).

1. Воздушный шар объемом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой 200 кг? Температура окружающего воздуха 7°С, его плотность 1,2 кг/м 3 . Оболочку шара считать нерастяжимой. (Решение)

2. Воздушный шар объемом 2500 м 3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Рассчитайте максимальную массу груза, который может поднять шар, если воздух в нем нагреть до температуры 77°С. Температура окружающего воздуха 7°С, его плотность 1,2 кг/м 3 . Оболочку шара считать нерастяжимой. (Решение)

3. Воздушный шар объемом 2500 м 3 имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Если температура окружающего воздуха 7°С, а его плотность 1,2 кг/м 3 , то при нагревании воздуха в шаре до температуры 77°С шар поднимает груз с максимальной массой 200 кг. Какова масса оболочки шара? Оболочку шара считать нерастяжимой. (Решение)

4. Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и содержит 100 кг гелия. Какой груз он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17°С, а давление 10 5 Па? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара. (Решение)

5. Воздушный шар с газонепроницаемой оболочкой массой 400 кг заполнен гелием. Он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17°С, а давление 10 5 Па, груз массой 225 кг. Какова масса гелия в оболочке шара? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара. (Решение)

6. При исследовании уравнения состояния газа ученик соединил сосуд (1) объемом 150 мл с манометром (2) тонкой трубкой и опустил сосуд в горячую воду (см. рисунок). Чему равна плотность воздуха в сосуде? Начальные показания манометра равны 0 мм рт. ст. Шкала манометра и нижняя шкала барометра (3) проградуированы в мм рт. ст. Верхняя шкала барометра проградуирована в кПа. Объем измерительного механизма манометра и соединительной трубки значительно меньше 150 мл. (Решение)

7. Теплоизолированный сосуд объемом V = 2 м 3 разделен пористой неподвижной перегородкой на две равные части. Атомы гелия могут свободно проникать через поры в перегородке, а атомы аргона — нет. В начальный момент в одной части сосуда находится ν_He = 2 моль гелия, а в другой — ν_Ar = 1 моль аргона. Температура гелия T_Нe = 300 К, а температура аргона Т_Ar = 600 К. Определите температуру гелия после установления равновесия в системе. (Решение)

8. На рисунке представлен график изменения температуры вещества в калориметре с течением времени. Теплоемкостью калориметра и тепловыми потерями можно пренебречь и считать, что подводимая к сосуду мощность постоянна. Рассчитайте удельную теплоемкость вещества в жидком состоянии. Удельная теплота плавления вещества равна 100 кДж/кг. В начальный момент времени вещество находилось в твердом состоянии. (Решение)

9. В цилиндрическом сосуде под поршнем длительное время находятся вода и ее пар. Поршень начинают вдвигать в сосуд. При этом температура воды и пара остается неизменной. Как будет меняться при этом масса пара в сосуде? Ответ поясните. (Решение)

10. В цилиндрическом сосуде под поршнем длительное время находятся вода и ее пар. Поршень начинают вдвигать в сосуд. При этом температура воды и пара остается неизменной. Как будет меняться при этом отношение массы пара к массе жидкости в сосуде? Ответ поясните. (Решение)

11. В цилиндр объемом 0,5 м 3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5·10 -4 м 2 , расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его можно считать невесомым. (Решение)

12. В цилиндр объемом 0,5 м 3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок к зад. 11). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5·10 -4 м 2 , расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину AB. (Решение)

13. Воздушный шар имеет газонепроницаемую оболочку массой 400 кг и содержит 100 кг гелия. Какой груз он может удерживать в воздухе на высоте, где температура воздуха 17°С, а давление 10 5 Па? Считать, что оболочка шара не оказывает сопротивления изменению объема шара. (Решение)

14. Воздушный шар, оболочка которого имеет массу М = 145 кг и объем V = 230 м 3 , наполняется горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении и температуре окружающего воздуха t₀ = 0°C. Какую минимальную температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие. (Решение)

15. В высоком вертикальном цилиндрическом сосуде под тяжелым поршнем, способным перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения, находится некоторое количество воздуха под давлением p = 1,5 атм. Поршень находится в равновесии на высоте H₁ = 20 см над дном сосуда. Определите, на какое расстояние ΔH сместится поршень, если сосуд перевернуть открытым концом вниз и дождаться установления равновесия. Считать температуру воздуха и атмосферное давление p₀ = 1 атм постоянными. Массой воздуха в сосуде по сравнению с массой поршня можно пренебречь. (Решение)

16. Горизонтальный хорошо теплопроводящий цилиндр, разделённый подвижными поршнями площадью S = 100 см 2 на 5 отсеков (№№ 1—5), содержит в них одинаковые количества идеального газа при температуре окружающей среды и под давлениями, равными давлению p_а = 10 5 Па окружающей цилиндр атмосферы (см. рисунок). Каждый поршень сдвигается с места, если приложенная к нему горизонтальная сила превышает силу сухого трения F_тр = 2 Н. К самому левому поршню прикладывают горизонтальную силу F, медленно увеличивая её по модулю. Какого значения достигнет F, когда объём газа в самом правом, 5-м отсеке цилиндра уменьшится в n = 2 раза? Процессы изменения состояния газов в отсеках цилиндра считать изотермическими. (Решение)

17. Горизонтальный хорошо теплопроводящий цилиндр, разделённый подвижными поршнями площадью S = 50 см 2 на 5 отсеков (№№ 1—5), содержит в них одинаковые количества идеального газа при температуре окружающей среды и под давлениями, равными давлению p_а = 10 5 Па окружающей цилиндр атмосферы (см. рисунок к зад 16). Каждый поршень сдвигается с места, если приложенная к нему горизонтальная сила превышает силу сухого трения F_тр = 4 Н. К самому левому поршню прикладывают горизонтальную силу F, медленно увеличивая её по модулю. Когда давление газа в самом правом, пятом отсеке цилиндра, увеличится в n = 3 раза? Процессы изменения состояния газов в отсеках цилиндра считать изотермическими. (Решение)

18. Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем, имеющим массу m и площадь сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно p. Определить давление p₁ газа над поршнем при вертикальном положении цилиндра. Температуру газа считать постоянной. (Решение)

19. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием при атмосферном давлении 10 5 Па. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0°С. (Площадь сферы S= 4πr 2 , объем шара V = 4/3πr 3 .) (Решение)

20. В горизонтальном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, находится одноатомный идеальный газ. Площадь поперечного сечения поршня S = 30 см 2 . Давление окружающего воздуха p = 10 5 Па. Трение между поршнем и стенками сосуда пренебрежимо мало. Какое количество теплоты нужно отвести от газа при его медленном охлаждении, чтобы поршень передвинулся на расстояние х = 10 см? (Решение)

21. В горизонтальном цилиндрическом сосуде, закрытом подвижным поршнем, находится одноатомный идеальный газ. Давление окружающего воздуха р = 10 5 Па. Трение между поршнем и стенками сосуда пренебрежимо мало. В процессе медленного охлаждения от газа отведено количество теплоты |Q| = 75 Дж. При этом поршень передвинулся на расстояние х = 10 см. Чему равна площадь поперечного сечения поршня? (Решение)

22. В запаянной с одного конца длинной горизонтальной стеклянной трубке постоянного сечения (см. рисунок) находится столбик воздуха длиной l₁ = 30,7 см, запертый столбиком ртути. Если трубку поставить вертикально отверстием вверх, то длина воздушного столбика под ртутью будет равна l₂ = 23.8 см. Какова длина ртутного столбика? Атмосферное давление 747 мм рт. ст. (Решение)

23. В водонепроницаемым мешок, лежащий на дне моря на глубине 73,1 м. закачивается сверху воздух. Вода вытесняется из мешка через нижнее отверстие, и. когда объём воздуха в мешке достигает 28,0 м, мешок всплывает вместе с прикреплённым к нему грузом массой 25,0 тонн. Определите массу воздуха в мешке в момент начала его всплывания. Температура воды раина 7°С. атмосферное давление па уровне моря равно 10 5 Па. Объёмом груза и стенок мешка пренебречь. Масса оболочки мешка неизвестна. (Решение)

24. Сосуд разделен тонкой перегородкой на две части, отношение объёмов у которых V₂/V₁ = 3. В первой и второй частях сосуда находится воздух с относительной влажностью соответственно φ₁ = 60% и φ₂ = 70%. Какой будет влажность воздуха в сосуде, если перегородку убрать? Считать, что температура воздуха постоянна.(Решение)

25. В металлическом сосуде под поршнем находится воздух при атмосферном давлении (см. рисунок). Сосуд имеет массу 10 кг и расположен в горизонтальном положении на поверхности стола. Поршень может скользить без трения со стенками сосуда. Массон поршня и воздуха, заключённого в сосуде, можно пренебречь. За привязанный к нему шнур поршень очень медленно тянут в горизонтальном направлении. На сколько процентов возрастёт объём воздуха под поршнем к моменту, когда сосуд начнёт скользить по столу? Коэффициент трения покоя между сосудом и поверхностью стола равен 0,5. Площадь дна поршня 105 см 2 . Атмосферное давление 10 5 Па. (Решение)

26.Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1-2-3, график которого показан на рисунке в координатах р-Т. Известно, что давление газа р в процессе 1-2 увеличилось в 2 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу в процессе 1-2-3, если его температура Т в состоянии 1 равна 300 К, а в состоянии 3 равна 900 К? (Решение)

27. Теплоизолированный цилиндр разделён подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой - аргон. В начальный момент температура гелия равна 300 К,. а аргона - 900 К. Объёмы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объём, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемешается без трения? Теплоёмкостью цилиндра н поршня пренебречь. (Решение)

28. Аэростат объемом V = 200 м 3 наполняют горячим воздухом при температуре t = 280 °С и нормальном атмосферном давлении. Температура окружающего воздуха t₀ = 0°С. Какую максимальную массу должна иметь оболочка аэростата, чтобы он мог подниматься? Оболочка аэростата нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие. (Ответ: 129 кг)

29. Аэростат, оболочка которого имеет массу М = 200 кг и объем V = 350 м 3 , наполняют горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Температура окружающего воздуха t₀ = 0 °С. Какой должна быть температура воздуха внутри оболочки, чтобы он начал подниматься? Оболочка аэростата нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие. (Ответ: 220°С)

Задание 30 ЕГЭ по физике

Это задание также относится к высокому уровню сложности. Как правило, тематика этого задания «МКТ» и «Термодинамика». Какие-то задачи требуют только формульного решения, какие-то необходимо сопровождать графическими пояснениями термодинамических процессов. В любом случае, теоретический материал полностью соответствует кодификатору элементов содержания и спецификации контрольных измерительных материалов.

Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:

Выразим из этого равенства изменение внутренней энергии:

Работу газа в изобарном процессе можно рассчитать по формуле:

с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
(2).
При совершении работы давление бензола не изменяется, так как поршень в цилиндре легкоподвижный. Давление бензола все время остается равным атмосферному.

При этом
– масса бензола, превратившегося в газообразное состояние.

Количество теплоты, которое идет на превращение бензола в это состояние можно рассчитать по формуле:

Выражение для работы бензола (2) и количества теплоты (3) подставим в уравнение (1).

После сокращения на получим искомую формулу:

Подставим численные значения и проведем расчет:

Секрет решения. На первый взгляд задача кажется несложной, но в ней «спрятаны» несколько искусственных приемов, до которых додуматься достаточно сложно. Первый прием – выражение Это математический ход, который сразу подсказывает, что конкретно надо находить в этой задаче.

Второй прием – получение равенства, используя уравнения Менделеева-Клапейрона Здесь надо придерживаться следующих рассуждений: если в левой части уравнения есть переменная величина (в этой задаче ), то и в правой части должна изменяться какая-то физическая величина (в этой задаче ). Можно сказать еще проще: если в левой части равенства есть знак дельта " ", то и в правой части он должен обязательно появиться. В крайнем случае, можно «перебрать» все величины из правой части: температура не может изменяться, так как при парообразовании она всегда постоянна; молярная масса также неизменна, потому что речь идет об одном и том же газе; R – табличная величина. Остается только Эти рассуждения помогут понять ситуацию, описанную в задаче и правильно ее решить.

2. Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния до одного и того же конечного объёма первый раз по изобаре 1–2, а второй по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3 равно =к=2. Чему равно отношение х количества теплоты полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа в ходе процесса 1–3?

Для участка 1–2 применим первый закон термодинамики с учетом изобарного процесса.

Работу газа при расширении найдем как площадь прямоугольника под графиком.

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа запишем в виде формулы:

Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

Тогда (3) примет вид:

Таким образом количество теплоты на участке 12 равно:

Для участка 1–3 применим первый закон термодинамики с учетом адиабатного процесса.

но так как запишем:

или Это выражение означает, что газ на участке 13 совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.

Учтем, что по условию =к=2, тогда:

Используя (5) и (6) получим искомую формулу:

Секрет решения. Несмотря на громоздкие расчеты и обилие разных индексов в уравнениях, задача является среднего уровня сложности. Надо знать:

- первый закон термодинамики;

- его применение к изопроцессам;

- формулы, выражающие работу газа и его внутреннюю энергию (только для одноатомного идеального газа);

- уметь «читать» графики;

- понимать, что при расширении газ совершает положительную работу, при сжатии – отрицательную работу;

- проводить рассуждения о том, откуда газ берет энергию для совершения работы (за счет своей внутренней энергии или за счет поступления энергии извне);

- указанные пункты описывать соответствующими уравнениями.

Суть любой задачи по физике – описание физических процессов математическими уравнениями, которые надо решить удобным (рациональным) способом.

3. В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разряженного газа совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах p–T, где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

КПД теплового двигателя определяется формулой:

– полезная работа, совершенная газом за цикл, Q – полученное за цикл количество теплоты. Можно графически рассчитать работу, если перерисовать данный цикл в координатах рV. Проведем анализ каждого процесса.

В координатах рV график будет иметь вид:

Работа газа за цикл будет определяться площадью прямоугольника 1-2-3-4.

Поэтому (на основании закона Шарля).

(на основании закона Гей-Люссака).

Таким образом, можно выразить полезную работу через и

Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3.

Применим к этим участкам первый закон термодинамики.

Но работа газа на этом участке равна нулю, так как процесс изохорный.

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона и получим:

Для участка 23 первый закон термодинамики примет вид:

Работа определяется площадью прямоугольника под участком 23.

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона (4) примет вид:

Таким образом, полученное количество теплоты на участке 23 равно:

Общее количество теплоты, полученное за цикл:

Полученные выражения из (1) и (6) подставим в формулу КПД.

Секрет решения. За задачи на определение КПД тепловой машины по графику надо получать максимальные 3 балла. Эти задания сопровождаются большими расчетами, поэтому на первое место надо ставить внимательность их выполнения.

Необходимо выделить следующие моменты в решении:

- определять работу графически можно только в координатах рV;

- если в условии дан график в других координатах, то его надо перечертить в рV;

- поэтапно применять первый закон термодинамики и газовые законы для всех процессов;

В вертикальном закрытом цилиндре находится идеальный газ

На диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Положительную работу А газ совершил на участке:

На T − V диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Газ не совершал работу (А = 0) на участке:

На T — V диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Газ совершил положительную работу А на участке:

На р — V диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Положительную работу А газ совершил на участке:

На T — V диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Газ не совершал работу (А = 0) на участке:

На p — V диаграмме изображён процесс 0→1→2→3→4→5, проведённый с одним молем газа. Положительную работу А газ совершил на участке:

Идеальный одноатомный газ, количество вещества которого постоянно, переводят из состояния A в состояние C (см. рис.). Значения внутренней энергии U газа в состояниях A, B, C связаны соотношением:

На V−T диаграмме изображены различные состояния некоторого вещества. Состояние с наибольшей средней кинетической энергией молекул обозначено цифрой:

На p−T диаграмме изображены различные состояния некоторого вещества. Состояние с наибольшей средней кинетической энергией молекул обозначено цифрой:

В герметично закрытом сосуде находится гелий, количество вещества которого V = 10 моль. Если за некоторый промежуток времени температура газа изменилась от t₁= 17 °С до t₂ = 137 °С, то изменение внутренней энергии гелия равно:

В вертикально расположенном цилиндре под легкоподвижным поршнем, масса которого m = 4,00 кг, а площадь поперечного сечения S = 20,0 см 2 , содержится идеальный газ (см. рис.). Цилиндр находится в воздухе, атмосферное давление которого p₀ = 100 кПа. Если начальная температура газа и объем T₁ = 270 К и V₁ = 3,00 л соответственно, а при изобарном нагревании изменение его температуры ΔT = 180 К, то работа A, совершенная силой давления газа, равна . Дж.

31. Законы идеального газа: задачи по физике с ответами без решений

(Все задачи по молекулярно-кинетической теории и ответы к ним находятся в zip-архиве (290 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

31.1. При сжатии объем газа уменьшился от 7 л до 4 л. При этом давление его возросло на 1,2 атм. Определить начальное давление газа, если T = const. [1,6 атм]

31.2. С какой глубины всплывал пузырек воздуха, если за время всплытия его объем увеличился в 3 раза? T = const. [20 м]

31.3. Из цилиндрической, запаянной с одного конца, трубки частично откачали воздух. При опускании ее открытым концом в ртуть, ртуть поднялась на высоту 68 см. До какого давления откачали трубку? Длина трубки 75 см, атмосферное давление 750 мм рт. ст. [870 Па]

31.4. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом баллоне объемом V₁ = 1 л находится газ при давлении p₁ = 1 атм. Во втором (объем V₂ = 3 л) газ при давлении p₂ = 0,6 атм. Какое установится давление, если кран открыть? T = const. [ 0.7 атм]

31.5. В узкой трубке, запаянной с одного конца, находится столбик ртути длиной l = 15 см. Когда трубка горизонтальна объем воздуха, запертого в трубке столбиком ртути, равен V₁ = 240 мм 3 . Когда трубку ставят вертикально открытым концом вверх, объем этого воздуха V₂ = 200 мм 3 . Найти атмосферное давление. [99 750 Па]

31.6. В закрытой частично откачанной трубке находится столбик ртути длиной l = 3 см. Если трубка горизонтальна, то объемы воздуха слева и справа от ртути равны. Если трубка вертикальна, то верхний объем вдвое больше нижнего. До какого давления откачали трубку? [5400 Па]

31.7. Посередине закрытой частично откачанной трубки, лежащей горизонтально, находится столбик ртути длиной l = 20 см. Длина трубки L = 1 м. Если трубку поставить вертикально, то столбик ртути передвинется на Δl = 10 см. До какого давления откачали трубку? [ ≅ 5×10 4 Па]

31.8. В U-образной трубке, закрытой с одного конца, находится ртуть. Уровни ртути в обоих коленах одинаковы, высота столбика воздуха в закрытом колене равна l₁ = 20 см (рис.). Атмосферное давление — 76 см рт. ст. Часть ртути через кран выливают и уровень ртути в открытом колене понизился на 58 см. На сколько понизился уровень ртути в закрытом колене? [20 см]

31.9. В вертикальном цилиндре под поршнем площадью S находится ν молей газа. При повышении температуры газа на ΔT его объем увеличился на ΔV. Найти массу поршня. Атмосферное давление p_A, трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.10. По цилиндрической печной трубе поднимается дым. В нижней части трубы дым имеет температуру t₁ = 700° С и скорость v₁ = 5 м/с. Какова его скорость в верхней части трубы, где температура равна t₂ = 200° С? [ ≅ 31.4 м/с]

31.11. Трубка, запаянная с одного конца, погружена открытым концом в ртуть. При этом уровень ртути в трубке на 5 см выше чем снаружи. Длина трубки, не занятая ртутью, — 50 см. На сколько градусов необходимо поднять температуру воздуха, чтобы уровень ртути в трубке опустился до уровня снаружи? Начальная температура 17° С. Атмосферное давление нормальное. [51,5 K]

31.12. Два одинаковых шара соединены тонкой горизонтальной трубкой в которой находится капелька ртути. При 0° С капелька ртути находится посередине трубки. Объем воздуха в каждом шаре и трубке до капельки равен 200 см 3 , площадь сечения трубки 20 мм 2 . На какое расстояние передвинется капелька, если один шар нагреть на 2° С, а другой охладить на 2° С? [≅ 7,3 см]

31.13. Два сосуда с одинаковым газом соединены трубкой с краном. В первом сосуде плотность газа равна p₁, во втором – p₂. Объем первого сосуда в n раз больше объема второго. Какой станет плотность газа, если кран открыть? [смотрите ответ в общем файле темы]

31.14. В вертикальном цилиндрическом сосуде под тяжелым поршнем находится идеальный газ массой m и молярной массой М. Поршень связан с дном сосуда пружиной жесткости k. При температуре T₁ поршень находится на высоте h₁ от дна. При какой температуре поршень будет на высоте h₂? [смотрите ответ в общем файле темы]

31.15. В запаянной с одного конца трубке находится небольшая капелька ртути. Трубка расположена горизонтально и капелька находится вблизи от крытого конца. Трубку начинают медленно раскручивать вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец. При некоторой угловой скорости вращения расстояние от оси вращения до капельки равно l/2 (l — длина трубки ). Каким будет расстояние от оси до капельки, если угловую скорость удвоить? Температура постоянна. [ (7/8)l ]

31.16. Некоторое количество водорода находится в закрытом сосуде при температуре 200 К и давлении 400 Па. Газ нагрели до такой температуры, что его молекулы практически полностью распались на атомы. При этом давление газа стало равно 40 кПа. Во сколько раз при этом возросла средняя квадратичная скорость движения частиц газа? [10]

31.17. В вертикальном цилиндрическом сосуде под подвижным поршнем находится 2 моля гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличивают в два раза. При этом весь водород распадается на атомы. Во сколько раз увеличивается объем газа под поршнем? [8/3, к задаче есть решение]

31.18. В объеме V_o при температуре T_o и давлении p находится воздух, содержащий некоторое количество озона O₃. Озон постепенно превратился в молекулярный кислород O₂ и при том же давлении температура воздуха стала равна T, а объем – V. Найти начальное число молей озона. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.19. Тонкостенный стакан массой m кладут на поверхность воды дном вниз и он плавает, погрузившись в воду ровно наполовину. Какая часть стакана будет высовываться из воды, если его положить на воду дном вверх? Площадь дна стакана равна S, атмосферное давление – p_A. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.20. Тонкостенный стакан кладут на поверхность воды дном вниз и он погружается ровно наполовину. На какую глубину его нужно погрузить в воду дном вверх, чтобы он уже не всплыл? Атмосферное давление P_A = 10 5 Па, плотность воды ρ = 10 3 кг/м 3 . Размерами стакана пренебречь. [10 м]

31.21. Горизонтальный цилиндрический герметичный сосуд длины L разделен на три равные части двумя подвижными поршнями. Первоначально температура везде одинакова и равна T_o (рис.). На какое расстояние передвинутся поршни, если температуру в левой части сосуда поднять до значения T, а в остальных частях поддерживать равной T_o? Трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.22. В вертикально стоящий цилиндрический сосуд с площадью дна S вставлен поршень, масса которого равна массе сосуда. В свободном состоянии поршень находится на половине высоты сосуда. Поршень начинают медленно поднимать вверх (рис.). При каком значении массы сосуда и поршня сосуд тоже начнет подниматься? Атмосферное давление p_A, трения нет, температура постоянна. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.23. На рис. представлен замкнутый процесс, проведенный с идеальным газом. Температуры в точках 1 и 3 были равны: T₁ = 300 К и T₃ = 400 К. Какая температура была в точке 2? Масса газа постоянна. [ ≅ 346 К ]

31.24. Полагая, что воздух состоит из кислорода и азота, определить процентное содержание этих газов в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. [ x_к ≅ 0.276; x_а ≅ 0.724 ]

31.25. Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений Δp > 1,1 атм. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом – идеальный газ при температуре t₁ = 27° С и давлении p₁ = 1 атм. Затем оба баллона нагрели до температуры t₂ = 107° С. Найти давление в баллоне, где был вакуум. [ 10 кПа]

31.26. Сосуд объемом V = 20 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 20° С и давлении p = 2 атм. Масса смеси m = 5 г. Найти отношение массы водорода к массе гелия в смеси. [0,5]

31.27. В сосуде находится смесь: m₁ = 7 г азота и m₂ = 11 г углекислого газа при температуре Т = 290 К и давлении p = 1 атм. Найти плотность этой смеси. [ ρ = 1.5 кг/м 3 ]

31.28. В баллоне объемом V = 7,5 л при температуре T = 300 K находится смесь идеальных газов: ν₁ = 0,1 моля кислорода, ν₂ = 0,2 моля азота и ν₃ = 0,3 моля углекислого газа. Найти давление и среднюю молярную массу смеси. [p = 2×10 5 ; M = 36,7 г/моль]

31.29. Внутри вертикального закрытого цилиндрического сосуда находится массивный поршень. Над поршнем и под поршнем находятся одинаковые массы одинакового газа. Сначала температура везде равна T_o, а отношение объемов под и над поршнем равно 1:31. Газ под поршнем нагревают, поддерживая температуру над поршнем постоянной. До какой температуры надо нагреть газ под поршнем чтобы отношение объемов поменялось на противоположное? Трения нет. [T = 3T_o]

31.30. В вертикальном закрытом цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого находится по одному молю воздуха. При Т₁ = 300 K отношение верхнего объема к нижнему равно α₁ = 4. При какой температуре это отношение станет α₂ = 3? Трения нет. [ ≅ 420 К ]

31.31. Две горизонтальные цилиндрические трубы, имеющие площади сечения S₁ и S₂, соединены вместе и закрыты поршнями. Поршни соединены жестким стержнем (рис.). Вначале давление во всех частях системы равно p_o, а объем между поршнями равен V_o. Затем давление в левой части системы повышается до значения p₁, а в правой остается прежним. На какое расстояние переместятся поршни? Трения нет, температура постоянна. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.32. В вертикальной трубе переменного сечения имеются два поршня, связанные тонким жестким стержнем. Между поршнями один моль идеального газа. Площадь верхнего поршня на ΔS = 10 см 2 больше, чем нижнего. Общая масса поршней и стержня m = 5 кг. Атмосферное давление p_A = 1 атм. (рис.). На сколько надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на l = 5 см? Трения нет. [ 0.9 К ]

31.33. В баллоне емкостью V = 10 л содержится водород при температуре t = 20° С под давлением p = 10 7 Па. Какую массу водорода выпустили из баллона, если при полном сгорании оставшегося водорода образовалось m = 50 г воды? [ ≅ 77 г]

31.34. Камера заполняется смесью водорода и кислорода при температуре t_o = 27° С. Парциальные давления газов одинаковые. Камера герметизируется и производится взрыв. Сразу после взрыва давление в камере оказывается вдвое больше начального. Какова температура в камере в этот момент? [ 800 К]

31.35. В тепловом процессе объем идеального газа изменяется по закону V = βp (β = const). Во сколько раз изменится давление при уменьшении температуры от T₁ = 450 К до Т₂ = 200 К? [ 1.5]

31.36. Планету радиусом r и массой m окружает равноплотная атмосфера, состоящая из газа с молярной массой M. Какова температура атмосферы на поверхности планеты, если высота атмосферы равна h? [смотрите ответ в общем файле темы]

31.37. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала с поверхностной плотностью σ = 1 кг/м 2 . Шар наполнен гелием. Условия внутри и снаружи нормальные. При каком минимальном радиусе шар сможет поднять сам себя? [ ≅ 31.7 м]

31.38. Два одинаковых сосуда соединены тонкой трубкой. Система наполнена газом под давлением p_o. Во сколько раз необходимо изменить температуру в одном из сосудов, чтобы давление во всей системе стало равно p? Температура в другом сосуде поддерживается неизменной. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.39. В вертикальном цилиндре под поршнем находится идеальный газ. Для того, чтобы уменьшить объем газа в n раз, на поршень надо положить груз массой m. Какой груз надо положить, чтобы уменьшить объем в k раз? Температура постоянна, трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.40. Для того, чтобы изотермически уменьшить объем газа под поршнем в n раз, на поршень надо положить груз массой m. Какой груз еще надо положить на поршень, чтобы объем газа уменьшился еще в k раз? Трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.41. Посередине горизонтального закрытого цилиндра длиной l и площадью сечения S находится тонкий поршень массой m. Слева и справа от поршня идеальный газ под давлением p. Определить период малых колебаний поршня. Трения нет, температура постоянна. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.42. В земной атмосфере на высоте h = 120 км температура t = 59° С. Вблизи этой высоты при подъеме на Δh = 1 км давление падает на α = 7 %, а плотность на β = 12 %. Определить температуру на высоте h₁ = 121 км. [ 350 К]

31.43. В вертикальном цилиндре под поршнем сечением S и массой m находится воздух. На поршне находится груз. Определить массу груза, если после его снятия объем газа под поршнем увеличивается вдвое, а абсолютная температура уменьшается вдвое. Атмосферное давление p_o. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.44. Сосуд объемом V = 30 л разделен на три равные части неподвижными тонкими перегородками. В левую часть вводят m₁ = 30 г водорода, в среднюю – m₂ = 160 г кислорода, а в правую – m₃ = 70 г азота (рис.). Левая перегородка проницаема для водорода, а правая – для водорода и азота. Какое давление установится во всех частях системы при температуре T = 300 K? [p₁ ≅ 1,3×10 9 Па; p₂ ≅ 4,5×10 9 Па; p₃ ≅ 2×10 9 Па]

31.45. Оболочка аэростата имеет постоянный объем и в нижней части сообщается с атмосферой. Аэростат частично заполняют гелием, а оставшуюся часть объема оболочки занимает воздух. Как изменяется подъемная сила аэростата в зависимости от высоты подъема? Считать, что за время подъема гелий и воздух не перемешиваются. [смотрите ответ в общем файле темы]

31.46. Закрытый вертикальный цилиндрический сосуд объемом V заполнен азотом при температуре T. Разность сил давления газа на дно и крышку сосуда при этом равна ΔF. Каким будет давление в сосуде в состоянии невесомости? [смотрите ответ в общем файле темы]

31.47. Сколько ходов должен сделать поршень откачивающего насоса, чтобы откачать воздух из сосуда емкостью V₁ = 2 л от давления p₁ = 10 5 Па до давления p₂ = 10 Па, если емкость цилиндра насоса равна V₂ = 40 см 3 ? [465]

31.48. В сосуде постоянного объема находятся 1 моль неона и 2 моля водорода. При температуре T₁ = 300 K, когда весь водород молекулярный, давление в сосуде равно 10 5 Па. При температуре T₂ = 3000 K давление взросло до 1,5×10 6 Па. Какая часть молекул водорода диссоциировала на атомы? [0,75]

31.49. Закрытый цилиндрический сосуд с газом разделен подвижным поршнем и стоит вертикально на горизонтальной подставке. Масса сосуда m, масса поршня M. Подставку из-под сосуда мгновенно убирают. С каким ускорением начинает падать сосуд? Трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

Читайте также: