Метод феррари для решения уравнений четвертой степени

Обновлено: 09.01.2025

Формулы Кардано. Метод Феррари

III. , (). Перейдем к приведенному кубическому уравнению:

, и произведем замену неизвесной: .

Подставляя полученные выражения в уравнение, получим:

Получается неполное кубическое уравнение, в котором

Решение получившегося неполного кубического уравнения ищем в виде: .

Положив , получим систему уравнений .

т.е. и являются корнями квадратного уравнения .

Решая это уравнение, найдем

Полученные три значении и три значения не могут суммироваться в произвольных сочетаниях. Они должны удовлетворять соотношению . Оказывается, есть ровно три пары и , удовлетворяющих этому соотношению.

Отсюда , Найдены три корня кубического уравнения.

Это и есть формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

Пример 1.Решить уравнение .

Полагая , получим неполное кубическое уравнение . К этому уравнению можно применить формулы Кардано. Здесь , поэтому

Одним из значений этого кубического корня будет число 3. Произведение этого значения на соответствующее ему значение другого кубического корня, входящего в формулу, должно равняться числу , т.е. в нашем случае равняться числу (–3). Искомым значением второго корня будет, следовательно, число (–1) и поэтому . Разделив неполное уравнение на () , получим квадратное уравнение с корнями .

Тогда корнями исходного кубического уравнения будут:.

Пример 2.Решить уравнение .

Корнями данного кубического уравнения будут .

Решение этого уравнения показывает, что далеко не всегда корни кубического уравнения (даже если они вполне благополучные) удается найти так просто, как хотелось бы.

IV.Рассматриваем уравнение четвертой степени:

Мы приведем решение, полученное Феррари.

Приведенное уравнение имеет вид: .

Осуществляя замену переменной: ; , получим неполное уравнение четвертой степени: .

Запишем уравнение в виде: .

Введем параметр так, чтобы:

Потребуем , чтобы было полным квадратом, тогда идея

состоит в том, чтобы представить полученное уравнение в виде разности квадратов

, с последующим разложением его в произведение и решением получившихся квадратных уравнений.

Для реализации этой идеи дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Решение уравнений четвёртой степени

У меня папа увлекается шахматами, шашками и математикой. У него инженерное образование. Его зовут Арефьев Виктор Андреевич, и ему сейчас 78 лет. Давно мне говорил, что написал математическую статью, но не знает, как набрать ее на компе (из-за формул). Зрение не очень, с компьютером несколько «на вы». Но со скайпом, вайбером, почтой, а также шахматными и шашечными играми онлайн - управляется. Статью он написал, только не знает, куда и кому ее послать, чтобы прочитали. Мой друг постарался и помог набрать текст с рукописного черновика. Это была эпопея, но теперь наконец все готово. Пожалуйста, если среди вас есть кто-то, кто разбирается, почитайте и отзовитесь, вдруг вам есть, что сказать в ответ.
И, если можно, затегайте тех, кто еще может статью почитать и подсказать, где ее можно опубликовать в сообществах или на сайтах для интересующихся математикой. Я в математических задачах ничего не понимаю. При всей широте моих увлечений точные науки в них не вошли. Папе нужна связь с теми, кому это интересно и понятно, и с кем можно иногда виртуально общаться и получать обратную связь.

Пока выложили на моем сайте.
Вот, что папа пишет:
«Уравнение Феррари давно известно, разложение на два квадратных уравнения тоже, сопряжённые числа тоже, но здесь приведено новое их применение для вывода решения Феррари. Я про это ничего не нашёл, хоть искал».

Итак, в этой статье (идите по ссылке) https://ark.ru/wp-content/uploads/2019/08/Metody-resheniya-uravneniya-chetvyortoj-stepeni-V.A.-Arefiev.pdf?fbclid=IwAR3JNfLqppd0x42A24Vu0QT2Qt-u7d-sgiXZzYWBZcmhvOmVpqt541OoDlY

I. Новый вывод метода Феррари решения уравнения четвёртой степени.
II. Решение уравнения четвёртой степени методом сопряжённых чисел.
III. Метод Декарта-Эйлера решения уравнения четвёртой степени.
IV. Сравнение методов на примере.

И еще пишет:
«Я отдохнул от писанины и теперь решаю, с чего начать: 1. Законы Кеплера в теории двух тел с применением комплексного счисления. 2. Квадрат суммы двустороннего ряда равен сумме квадратов без удвоенных произведений. 3. Пирамиды для мертвых и для живых (заряды у молекулы воды расположены в вершинах тетраэдра и это даёт ей все важные для жизни свойства). 4. Свойства пространства с точки зрения физического вакуума - электрические, магнитные и гравитационные. 5. Разбор решения уравнения 5 степени Сергея Зайкова и опровержение альтернативного метода Валентина Подвысоцкого. 6. Решение интеграла от рациональной дроби любой степени в общем виде. 7. Решённые и нерешенные алгебраические ряды. Новые решения Базельской проблемы. 8. Суммирование рядов по методу Архимеда и определение погрешности при этом по треугольнику Паскаля. 9. Этюд Д.Кларка в шашках (1873г.) и его углубление. Углубление этюдов А.Врагова (1914г.) и И. Бленкаара (1894 г.). 10. Три дамки против дамки с тремя простыми - решение всех 36 вариантов».

Уравнения высших степеней

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На практике коэффициенты \(a_0, a_1, a_<0-1>\) , an всегда являются целыми числами.

\(a_0\) является старшим коэффициентом, который никогда не равен 0.

\(a_n \) — свободный член.

В таких уравнениях степень больше 2.

Чтобы решить уравнение высшей степени надо найти его корни, или обнаружить, что их нет. Корни представляют собой все значения переменной х, которые приводят многочлен к нулю или верному равенству.

Виды уравнений высших степеней:

1. Приведенные целые рациональные уравнения n-й степени.
2. Неприведенные.
3. Дробные рациональные.
4. Кубические.
5. Четвертой степени.
6. Биквадратные.
7. Симметричные. Признаком симметричных уравнений являются равные коэффициенты у одночленов, которые равноудалены от начала и конца многочлена, записанного в стандартном виде и стоящего в левой части уравнения.
8. Сводящиеся к возвратному.

На сегодняшний день в математике нет общих формул, которые бы подходили для решения уравнений высших степеней разных видов. Существуют различные системы для решения разных видов таких уравнений.

Методы решения уравнений высших степеней подразделяются на: стандартные и специальные.

• разложение на множители;
• введение новой переменной.

• деление на подходящее выражение с переменной;
• выделение полного квадрата;
• схема Горнера;
• деление уголком;
• группировка скобок;
• специальная замена;
• представление дроби в виде двух дробей;
• через построение графика функции;
• метод введения параметра.

Теорема Виета

Теорема Виета применяется для решения приведенных квадратных уравнений.

Первый коэффициент в таких уравнениях равен единице.

Правило теоремы Виета: Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни приведенного квадратного уравнения \( x^2+px+q=0,\) то

Чтобы решить уравнения высших степеней по данной системе, их сначала приводят к квадратным уравнениям.

Теорема Безу

Теорема Безу — остаток при делении многочлена \(Р(х)\) на линейный многочлен \(х-α\) будет равен \(Р(α):\)

Пусть \(α\) — корень уравнения \(Р(х)=0.\)

Тогда при замене вместо х на α, получим

Это означает, что остаток при делении \( Р(х)\) на \(х-α\) :

Таким образом, если удалось подобрать корень α, то, в соответствии с теоремой Безу, многочлен \(Р(х)\) нацело разделится на \(х-α\) .

Таким образом, данный метод решения уравнения высших степеней предполагает, что мы подбираем корень α.

В соответствии с теоремой Безу, остаток \(q\) при делении многочлена на \(х-α\) будет равен нулю, и мы получим уравнение уже на порядок ниже.

Затем, если оно по-прежнему не квадратное, повторяем процедуры, подбираем новый корень \(\alpha_1\) . Снова делим на \(х-\alpha_1.\)

Снова получаем целое число, так как, по теореме Безу, остаток \(q=P(α)\) . А если α — это корень, то остаток q равен нулю.

То есть, если корень подходит, то деление будет осуществляться нацело.

Как подобрать корень

Правило 1

Если \(a_0=1, \) \(a_i\in Z, \forall i.\)

Такое уравнение называется приведенным, когда старшая степень входит с коэффициентом, равным единице. Если уравнение приведенное, и \(α\) — целый корень, то \(α\) содержится в множестве делителей свободного члена:

Корень уравнения находится среди делителей свободного члена \(a_n.\)

Правило 2

Если \(a_0≠1\) , это неприведенное уравнение.

В этом случае необязательно, что корень будет лежать среди делителей свободного члена. Корень может быть нецелым. Если α рациональна, то корень содержится среди дробей вида, где в числителе стоят делители свободного члена, а в знаменателе стоят делители старшего коэффициента:

Схема Горнера

По данной схеме корень уравнения находят через делители свободного члена. Метод заключается в составлении таблицы, в которой отображаются в верхней строке все коэффициенты уравнения. А в первый столбик заносятся потенциальные варианты решения, то есть делители свободного члена.

Принцип заполнения таблицы:

1. Во втором столбце во вторую и последующие строчки сносится то, что находится в самом верхнем элементе второго столбика.
2. Чтобы найти число для второй строки третьего столбца, перемножают делитель, стоящий на второй строке, с соответствующим ему числом, находящемся во втором столбце и второй строчке, а затем к этому произведению прибавляют следующий коэффициент, стоящий наискосок.
3. Далее схема повторяется.
4. Продолжаем до тех пор, пока в какой-либо строке не получим нуль.
5. Для каждой новой строки прибавляем коэффициенты, а не числа, полученные в предыдущей строке.

Такая таблица позволяет не только проверять, является ли число корнем этого уравнения, но и параллельно осуществляет деление.

Метод Феррари для уравнений 4-ой степени

Уравнение четвертой степени имеет вид: \(a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0\) .

Метод Феррари позволяет решить уравнения четвертой степени через их приведение к кубическому виду. Далее они решаются по формуле Кардано. То есть используется алгоритм решения кубических уравнений.

Находят \(y_0\) — любой из корней кубического уравнения:

Затем решают два квадратных уравнения:

Полный квадрат является подкоренным выражением.

Корни этих уравнений являются корнями исходного уравнения четвертой степени.

Примеры применения способов на практике

Решение заданий с помощью теоремы Безу

Рассмотрим два многочлена:

Необходимо найти остаток от деления \(Р(х)\) на \(Q(x)\) . Используем деление столбиком.

В нашем примере число \(α = 1.\)

\(P(α)\) означает, что в многочлен \(Р(x)\) вместо х нужно подставить \(α\) .

Тогда многочлен примет вид:

Решение заданий при помощи схемы Горнера

Сначала выписываем делители свободного члена:

Коэффициенты: 1, -4, 6, -3. Их заносим в верхнюю строчку таблицы.

В первый столбец занесем потенциальные кандидаты в решения, например, -1 и 1.

В первый столбец запишем единицу. Она просто носится по строкам.

Чтобы записать ответ во второй строке третьего столбца, умножим единицу на минус единицу и прибавим минус 4:

Решение уравнений четвертой степени

В общем случае решение уравнения четвёртой степени осуществляется с использованием методов решения уравнений для высших степеней, например, методом Феррари или с помощью схемы Горнера. Но некоторые уравнения 4-ой степени имеют более простое решение.

Существует несколько особых типов уравнений четвертой степени, со способами решения которых вы познакомитесь ниже:

• Биквадратное уравнения $ax^4+bx^2+c=0$;
• Возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
• Уравнения вида $ax^4+b=0$.

Решение биквадратных уравнений четвёртой степени

Биквадратные уравнения $ax^4+bx^2+c=0$ сводятся к квадратным путём замены переменной $x^2$ на новую, например, на $y$. После замены решается новое полученное уравнение, а затем значение найденной переменной подставляется в уравнение $x^2=y$. Результатом решения будут корни уравнения $x^2=y$.

Решите уравнение $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:

Раскроем скобки в многочлене:

В таком виде становится очевидно, что в качестве новой переменной можно выбрать выражение $y=x^2-3x$, подставим её:

Теперь решим два квадратных уравнения $x^2-3x=-4$ и $x^2-3x=-6$.

Корни первого уравнения $x_1<1,2>=4;-1$, второе решений не имеет.

Решение возвратных уравнений 4 степени

Эти уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ повторяют своими коэффициентами при младших членах коэффициенты при многочленах со старшими степенями. Для решения такого уравнения сначала делят его на $x^2$:

Затем заменяют $(x+\frac<1>)$ на новую переменную, тогда $(x^2+\frac<1>)=y^2-2$, после подстановки получаем следующее квадратное уравнение:

Готовые работы на аналогичную тему

После этого ищем корни уравнений $x+\frac<1>=y_1$ и $x+\frac<1>=y_2$.

Аналогичным методом решаются возвратные уравнения вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.

Данное уравнение – возвратное уравнение вида $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Поэтому разделим всё уравнение на $x^2$:

Произведём замену выражения $x+\frac<2>$: $3(y^2-4)-2y-9=0$

Рассчитаем корни данного уравнения, они равны $y_1=3$ и $y_2=-\frac<7><3>$.

Соответственно, теперь необходимо решить два уравнения $x+\frac<2>=3$ и $x+\frac<2>=-\frac<7><3>$. Решение первого уравнения — $x_1=1, x_2=2$, второе уравнение не имеет корней.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются $x_1=1, x_2=2$.

Уравнения вида $ax^4+b=0$

Корни уравнения такой разновидности находятся с помощью применения формул сокращённого умножения.

Решение уравнения 4 степени. Феррари vs. ftvmetrics

Реакция на опубликованную 12 января 2021 на Хабре работу «Формула решения уравнения 4 степени» свидетельствовала о том, что статья была недостаточно хорошо выстроена методически. Формулы не смогли постоять сами за себя.

Итак, уравнение 4 степени.

Сначала о методе Феррари.

Метод Феррари замечателен тем, что он отражает сущность уравнения 4 степени. Выделение полных квадратов приводит к появлению кубической резольвенты. В итоге уравнение можно представить в виде произведения двух квадратных многочленов.
Для уравнения 5 и 6 степени прием, связанный с выделением полных квадратов или кубов, очень быстро заканчивается ничем. Мне кажется, что именно это обстоятельство реально породила тезис о невозможности решения в радикалах уравнений выше 4 степени.

Произведение двух квадратных многочленов, полученных методом Феррари.

Коэффициенты выражения, стоящего в правой части тождества.

Далее подставляем выражение для F^3 из резольвенты и получаем исходный многочлен 4 степени.

Единственное, что надо отметить, что резольвента проявляется только при вычислении свободного члена.

Корни одного и того же уравнения должны быть тождественны независимо от того, каким методом получены.
На практике в зависимости от использованного метода получаются корни, о которых в их символическом представлении сложно сказать тождественны они или нет. Почему бы не иметь еще один метод решения, который в некоторых случаях дает более простые символические представления корней. Такая возможность важна при подборе значений параметров корней и сопряжении корней нескольких уравнений.

Отличия метода ftvmetrics от метода Феррари:

— другие вспомогательные уравнения (резольвенты);
— вспомогательные уравнения «работают» не на свободном члене, а на коэффициентах при первой и второй степенях;
— есть возможность вычисления двух корней уравнения 4 степени из кубического уравнения, представленного в канонической форме.

Первое решение.

Было приведено в поименованной в начале статье.

Произведение квадратных многочленов, тождественное уравнению 4 степени после неоднократной замены R^3

Вместо решения каждого из квадратных многочленов, указанных выше, в методе ftvmetrics можно найти корни кубического уравнения

Два из них будут корнями уравнения 4 степени.
При этом появляется возможность выражения корней через экспоненты или тригонометрические функции.

Убедится в корректности альтернативного уравнения можно, вычислив субрезультанты и проверив два первых значения

Получаемые выражения субрезультантов «зверские», но когда известно, что ищешь — все не так грустно.

Второе решение.

имеет канонический вид.

Произведение квадратных многочленов, тождественное уравнению 4 степени после неоднократной замены R^3

Корректность альтернативного уравнения также проверяется через субрезультанты

Во втором решении вспомогательное и альтернативное уравнения имеют каноническое представление.

Метод феррари для решения уравнений четвертой степени

Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари.

При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой.

Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда Достаточность. Пусть Тогда

Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде:

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и достаточно выполнения условия

Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду

Пусть — один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место

при некоторых k и I. Исходное уравнение примет вид

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения.

Сделаем еще одно замечание. Пусть — корни первого сомножителя, и — корни второго. Тогда Сложив эти равенства, получим, что

Таким образом, мы получили выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Пример. Решить уравнение . Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часть:

Теперь положим . После образований получим уравнение

Легко видеть, что одним из корней этого уравнения является число . Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим:

Приравнивая сомножители нулю, получим

Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторые классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в. Руффини и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок.

$ AlexLat $

Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари .

Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени

x 4 +px³ +qx²+ix+s = 0

можно избавиться от члена px³ подстановкой x = y-p/4 . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:

. x 4 ax²+bx+c = 0

Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде A ² = B² , где левая часть – квадрат выражения A = x² + s , а правая часть – квадрат линейного уравнения B от X , коэффициенты которого зависят от S . После этого останется решить два квадратных уравнения: A= B и A =-B и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра s . Удобно взять s в виде a/2+p , тогда уравнение перепишется так:

. (15)

Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от x. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.

, или

b² = 2t(4t² + a² -4c)

Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно t оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень t₀. При t = t₀ правая часть уравнения (15) принимает вид

,

а само уравнение сводится к двум квадратным:

.

Их корни и дают все решения исходного уравнения.

Решим для примера уравнение

.x 4 -10x²+8x+5=0

Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде

x 4 -10x²+8x-5

и добавим к обеим частям выражение 2sx²+s², чтобы в левой части образовался полный квадрат:

Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения: 16-(10-2s)·(s²-5) =0

или, после упрощения,

Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: s₀ = -3. После подстановки этого значения получим уравнение

(x²-3)² = 4x²+8x+4 = 4·(x+1)²,

откуда x²-3 = ±2·(x+1). Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Формула Феррари (для решения алгебраического уравнения 4 степени)

Нужно решить алгебраическое уравнение 4 порядка, знаю что есть метод, позволяющий решить любое уравнение такого вида, называется формулы Феррари.
Но не удалось найти выражения для корней через коэфициенты уравнения, только общие соображения и алгоритм нашел(.
Помогите пожалуйста ссылкой или добрым словом))

Я тоже про алгоритм слышал, но не про целые формулы. Впрочем что вам мешает готовый алгоритм переделать в формулы? Выражение конечно должно получиться страшное.

С уважением, Бойко

Почему бы не решать численно? Все равно, используя явное выражение через коэффициенты вряд ли получится что-либо практически пригодное, т.к. выглядеть это решение будет, без преувеличения, ужасающе (спросите Maple). И потом, в теоретических изысканиях, сведя некую задачу к нахождению корней полинома n-ой степени, на мой взгляд, можно остановиться. Если же требуется практический результат, то можно попробовать как-нибудь упростить задачу, чтобы, скажем, вместо ур-я 4 степени получилось квадратное :). Или решать численно. А связываться с формулами Кардано/Феррари не советую.

Только щас понял, что aruno интересуют не общие формулы, а только решения данного уравнения. Так пусть напишет коэффициенты, а мы ему корни.

С уважением, Бойко

Все коэффициенты зависят от двух параметров - a и D, которые задаются нами, свободный член уравнения - тоже параметр, lm, про него известно только, что он чисто мнимое число, нет действительной части то есть.
Необходимо подобрать параметры a и D так, чтобы уравнение при любых допустимых значениях свободного члена имело два корня в правой полуплоскости, два в левой, и не имело чисто мнимых корней.
Поэтому и хотелось хотя бы взглянуть на формулы для корней)), и попробовать может как-то численно решить, выразив корни в явном виде через параматры.

где alfa = -a/3+1/3*sqrt(18+a*a)
B=sqrt(1/2*(1+1/2*alfa*D))

И так формулы жуткие, хочу как то численно решать, т.е. буду писать программу, но нужно знать выражение для корней через коэфициенты)

Пусть $y$ --- произвольный корень резольвенты исходного ур-я, те
$$
y^3-by^2+(ac-4d)y-(a^2d-4bd+c^2)=0
$$
Тогда корни исходного уравнения $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ находятся из двух квадратных уравнений:
$$
x^2+a/2x+y/2=\pm\sqrt((a^2/4-b+y)x^2+(a/2y-c)x+(y/4-d))
$$

По-моему, легче не стало :)

Простой перебор. Но, вроде работает, и довольно быстро.
Сначала сканируем область возможных a и D с некоторым шагом (я пробовал от 0 до 20). На каждом шаге вычисляем коэффициенты и находим все корни уравнения, например, методом Лагерра (допускает весьма точное нахождение корней, расходится весьма редко). Проверяем, соответствуют ли корни нашему условию. Получаем, формально, таблично заданную ф-цию 2 переменных, где, скажем, нулевые элементы соответствуют невыполнению условий на корни, 1 --- выполнению. Границу областей 1 и 0, которая вроде бы даже гладкая ф-ция параметорв, можно уточнить сколь угодно хорошо методом бисекции (придется учесть возможную неоднозначность --- советую сначала визуально проанализировать результат, а потом уж уточнять). Повторяем это для разных чисто мнимых lm (вроде бы можно ограничиться значениями вблизи 0, скажем, $[-0.2i, 0.2i]\\<0>$), берем пересечение всех областей 1, и получаем искомую область значений параметров. Конечно, на формальный результат не претендует, но вроде-бы работает. Может быть, имеет смысл повозиться с различными оценками, особенно для lm, т.к. требуется решение $\forall lm\in Ri$. Если результат имеет чисто прикладное значение, то может быть и этого не нужно.

К истории решения уравнений третьей и четвёртой степеней Текст научной статьи по специальности «Математика»

Текст научной работы на тему «К истории решения уравнений третьей и четвёртой степеней»

ИСТОРИИ ^ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЁРТОЙ СТЕПЕН

Конец XV - начало XVI вв. были периодом бурного развития в Италии математики и особенно алгебры. Было найдено общее решение квадратного уравнения, а также многие частные решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Стало обычным явлением проведение турниров по решению уравнений различных степеней. В начале XVI века в Болонье профессором математики Сципионом дель Ферро было найдено решение следующего кубического уравнения:

кандидат физико-математических наук

Заменой х = г — это уравнение сводится к виду: 3

Подставляя это выражение в уравнение (1), получим:

Сципион дель Ферро (1465 - 1526 гг.) -итальянский математик, открывший общий

метод решения неполного кубического уравнения

На фото вверху - математики XVI века (средневековая миниатюра)

Ферро передал секрет решения уравнения (1) своему ученику Марио Фиоре. Последний, пользуясь этим секретом, стал победителем в одном из математических турниров. В этом турнире не участвовал победитель многих турниров Никколо Тарталья. Естественно, возник вопрос поединка между Тартальей и Марио Фиоре. Тарталья верил словам авторитетного математика Пич-чоли, который утверждал, что кубическое уравнение в радикалах решить невозможно, поэтому он был уверен в своей победе. Однако за две недели до начала поединка он узнал, что Ферро нашёл решение кубического уравнения и передал свой секрет Марио Фиоре. Приложив, буквально, титанические усилия, он за несколько дней до открытия турнира получил своё решение кубического уравнения (1). 12 февраля 1535 г турнир состоялся. Каждый участник предложил своему противнику 30 задач. Проигравший должен был угостить победителя и его друзей торжественным обедом, причём количество приглашённых друзей должно было совпадать с количеством решённых победителем задач. Тарталья за два часа решил все задачи. Его противник - ни одной. Историки науки объясняют это следующим образом. Рассмотрим уравнение:

Это уравнение имеет единственный вещественный корень х = 1. Тогда по формуле Ферро мы получим:

Выражение, стоящее слева от знака равенства, должно равняться 1. Тарталья, как опытный турнирный боец, запутал своего противника такого рода иррацио-нальностями. Следует заметить, что Тарталья рассматривал только такие кубические уравнения, у которых А и В были вещественными.

Формулой Тартальи заинтересовался известный учёный Джероламо Кардано. Тартальи передал ему своё решение с условием, что Кардано может его опубликовать только после публикации Тартальи. Кардано в своих исследованиях пошёл дальше Тартальи. Он заинтересовался случаем, когда А и В являются комплексными числами. Рассмотрим уравнение:

По формуле (2) получим:

Тарталья (1499 - 1557 гг.) -итальянский математик

т.е. будет корнем уравнения (3). Считается, что Кардано тоже получил такого рода решения некоторых кубических уравнений.

Через некоторое время после получения формулы Тартальи, Кардано узнал решение Ферро. Он был удивлён полным совпадением решений Тартальи и Ферро. То ли потому, что Кардано узнал решение Ферро, то ли по какой-то другой причине, но в своей книге «Великое искусство» он опубликовал формулу Тартальи, правда, указав авторство Тартальи и Ферро. Узнав о выходе книги Кардано, Тарталья был смертельно обижен. И, может быть, недаром. Даже сегодня формулу (2) чаще называют формулой Кардано. Тарталья вызвал Кардано на математический поединок, но последний отказался. Вместо него вызов принял ученик Кардано, Феррари, который не только умел решать кубические уравнения, но и уравнения четвёртой степени. В современных обозначениях решение уравнений четвёртой степени имеет следующий вид:

Джероламо Кардано (1501 - 1576 гг.) -итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог

Лодовико (Луиджи) Феррари (1522 - 1565 гг.) -итальянский математик, нашедший общее решение уравнения четвёртой степени

Переменной t присвоим такое значение, чтобы дискриминант квадратного уравнения в правой части равнялся нулю:

Приведём это выражение к виду:

Чтобы указанный дискриминант равнялся нулю, надо найти решение кубического уравнения (5). Пусть ^ - корень уравнения (5), найденный методом Тарта-льи-Кардано. Подставляя его в уравнение (4), получим:

Перепишем это уравнение в виде:

Таким образом, решение уравнения четвёртой степени методом Феррари свелось к решению двух квадратных уравнений (6) и кубического уравнения (5).

Поединок Тарталья - Феррари состоялся 10 августа 1548 г. в Милане. Рассматривались уравнения третьей и четвёртой степеней. Удивительно, но Тарталья несколько задач всё-таки решил (у Феррари, наверняка, все задачи были на решение кубических уравнений с комплексными А, В и на решение уравнений четвёртой степени). Феррари решил большинство из предложенных ему задач. В итоге Тарталья потерпел сокрушительное поражение.

Всё это стало возможным в связи с появлением новой глубокой теории, а именно теории групп.

1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, Э. Ф. Шибасо-ва. - М. : Просвещение : АО «Учебная литература», 1996. - 320 с.

2. Гиндикин, С. Г. Рассказы о физиках и математиках / С. Г. Гиндикин. - 2-е изд. - М.: Наука, 1985. - 182 с.

ЛФХШ му&ръис мыслей

Наука только тогда благотворна, когда мы её принимаем не только разумом, но и сердцем.

Вселенную нельзя низводить до уровня человеческого разумения, но следует расширять и развивать человеческое разумение, дабы воспринимать образ Вселенной по мере её открытия.

Читайте также:

  
• Как установить ангельские глазки лансер 10
  
• Не закрывается водительская дверь шкода фабия
  
• Что такое демпфер на автомобиле ваз
  
• Замена клокспринг на додж калибр
  
• Система электронного контроля устойчивости esc лада гранта