Сколькими способами можно поставить на полке 4 различные вазы
Задачи: систематизировать теоретический материал по комбинаторике, теории вероятностей и статистике; разобрать задачи по данной теме; подобрать задачи для самопроверки.
Комбинаторика – это область математики, изучающая вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих различным условиям), которые можно составить из данных элементов.
Основные понятия и формулы
Перестановки - это последовательности, каждая из которых состоит из n элементов и отличается от другой только порядком расположения элементов
Размещения – это комбинации, формируемые из n различных элементов по m элементов в каждой и отличающиеся одна от другой либо составом, либо порядком следования элементов
Сочетания – это комбинации, формируемые из n различных элементов по m элементов в каждой и отличающиеся одна от другой только составом элементов
Свойства сочетаний без повторений :
Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить k способами, а другую – p способами, то все действие можно выполнить kp числом способов.
Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить k способами, а другое – p способами, то оба действия можно выполнить k+p числом способов.
Задача 1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в числе встречается один раз?
Решение: Из четырех цифр можно получить P 4 перестановок. Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с нуля. Таких перестановок P 3. Тогда: P 4 – P 3 =4! - 3! = 18
Ответ: 18 четырехзначных чисел
Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
Решение: На первое место можно поставить цифры 1, 2, 3(3 способа), на второе, третье и четвертое место – 0,1,2,3 (4 способа). Применяя комбинаторный принцип умножения получим 3 4 4 4 = 192 числа ( 2 способ: 3 =3 4 3 =192)
Задача 3. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова АБАКАН?
Решение. Требуется найти число перестановок на множестве из 6 элементов, среди которых три элемента одинаковы:
Задача 4. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?
Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых:
буква К повторяется 2 раза;
буква О повторяется 3 раза;
буква Л повторяется 2 раза
буква А повторяется 1 раз.
Задача 4 . В секции занимается 8 человек. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек?
Задача 5. В секции занимается 8 человек. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, один из которых бежит 100м, второй – прыгает в длину, третий – стреляет, четвертый – метает копье?
Задача 5. В кондитерском магазине продаются три сорта пирожных: наполеоны, эклеры и бисквитные. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение: Здесь требуется найти число всевозможных комбинаций из 9 элементов, которые можно составить из данных 3 элементов, причем эти элементы в каждой комбинации могут повторяться, а сами комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Значит, речь идет об отыскании числа сочетаний с повторениями из 3 элементов по 9.
Задача 6. Сколько различных звукосочетаний можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
Решение: Для каждого звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, и с учетом комбинаторного правила сложения, получим
Задача 7. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находится с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски)
Решение: Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей. При этом 14 полей оказываются под угрозой, значит, для второй ладьи остается любое из 64 -15 = 49 полей. Значит, общее число вариантов 64 49 = 3136
Задача 8. Тридцать человек разбиты на три группы по 10 человек в каждой группе. Сколько может быть различных составов групп?
Решение: первую группу можно составить способами, вторую способами, третью способами. С учетом комбинаторного правила умножения число всех составов групп
Задача 9. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
Решение: Всего можно составить четырехзначных чисел, включая и те, которые начинаются с цифры 0. Исключив их, получим . Теперь из этого набора нужно исключить все четырехзначные числа, не содержащие цифру 3, т.е. состоящие из цифр 0, 1, 2,4,5.аналогично получим
Задача 10. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
Решение: Всего на полке можно сделать перестановок. Убрав первый том, получим 29! перестановок книг. Первый том можно поставить рядом со вторым двумя способами
2 29! (вычтем их). Таким образом, способами
Задача 11. Найти число диагоналей n-угольника
Решение: Имеется n точек на плоскости. Всего можно провести
отрезков. Исключим n отрезков, которые являются сторонами многоугольника. Значит, всего диагоналей будет .
Задача12. В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n-угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?
Решение: Одна точка пересечения диагоналей возникает за счет двух диагоналей, т.е.четырех вершин. Их можно выбрать:
Задача 13. Восемь авторов должны написать книгу из 16 глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?
Решение: Искомое число таково способами
Задача 14. У одного мальчика 6 значков, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 значка одного на 2 значка другого?
Решение: Найдем сколькими способами каждый выдерет из своих значков по 2 для обмена: ; . Используя комбинаторное правило умножения получим 10 15=150 способов
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных событий
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.
Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .
Вероятность появления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(C) = P(A) + P(B)
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(C) = P(A) P(B)
Вероятность противоположного события : P( ) = 1 – P(A)
Задача 1. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: .
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно .
Искомая вероятность
.
Задача 2. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.
Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.
.
Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .
Задача 3. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет четное число очков, не превосходящее шести.
Решение: Общее число исходов 6 6 = 36. Благоприятных исходов 9: (1;1),(1;3), (2;2), (3;1), (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1). Значит, P =
Задача 4. В контрольной по математике 5 задач с выбором ответа. К каждой задаче предлагается 4 ответа, один из которых верный. За четыре верно решенные задачи ученик получает оценку 4. Какова вероятность получить 4, если случайным образом отметить верные ответы?
. Значит, искомая вероятность P =
Задача 5 . В мешочке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами К, О, С, М, О, С. Какова вероятность того, что, наудачу извлекая карточки и выкладывая их на столе, получится слово КОСМОС?
Решение: Занумеруем карточки числами от 1 до 6: К 1 О 2 С 3 М 4 О 5 С 6 . Общее число исходов равно количеству перестановок P 6 = 6! Благоприятными исходами будут следующие: К 1 О 2 С 3 М 4 О 5 С 6 , К 1 О 2 С 6 М 4 О 5 С 3, К 1 О 5 С 3 М 4 О 2 С 6 , К 1 О 5 С 6 М 4 О 2 С 3. Искомая вероятность равна P=
Задача 6. В окружность вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в круг, попадет в треугольник.
Решение: Пусть радиус окружности равен R, тогда сторона треугольника R . Тогда площади фигур равны: Sтр = ; Sокр= . Таким образом , искомая вероятность равна P = 0,41
Математическая статистика – это дисциплина, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов
Мода – значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.
Среднее арифметическое (среднее) – это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.
Медиана – это такое значение признака, которое разделяет упорядоченный ряд на две равные части. Если в ряду нечетное количество чисел, то это число, стоящее посередине ряда, если – четное, то среднее арифметическое двух средних по счету чисел.
Размах ряда – это разность наибольшего и наименьшего чисел упорядоченного ряда
Задача 1. Измеряя рост семи пришедших на урок учеников, учитель физкультуры получил ряд чисел: 152, 148, 152,154, 158,148, 152.Найдите разность между модой и медианой того ряда.
Решение: Упорядочим ряд 148, 148, 152,152, 152,154, 158. Мода ряда – 152. Медиана – 152. Значит,152 – 152 =0
Задача 2. Дима в четверти получил по 10 предметам среднюю оценку 4,2.По какому количеству предметов он должен улучшить оценку на 1 балл, чтобы его средняя оценка стала 5?
Решение: Сумма набранных баллов по всем предметам S= x 1 +x 2 +x 3 +…+x 10 = 4,2 10=42.
Тогда сумма баллов, набранная после исправления S 1 = y 1 +y 2 +…+y 10 =5 10=50. Следовательно, Дима должен улучшить свой результат на S-S 1 =50-42=8 баллов. Значит, он должен улучшить на 1 балл по 8 предметам.
Задача 3 . При каких значениях x медиана ряда чисел 1, 2, 3, 4, x будет равна 3?
Решение: После ранжирования данного ряда чисел в зависимости от значений x будет получен один из следующих рядов:
x, 1, 2, 3, 4, если x
1, x, 2, 3, 4, если 1
1, 2, x, 3, 4, если 2
1, 2, 3, x, 4, если 3
1, 2, 3, 4, x, если x>4
Найдем для каждого из этих рядов его медиану: 2, 2, x, 3, 3. Получаем, что медиана равна 3 при x>=3.
Задачи для самостоятельного решения
Ответы: 1. 124; 2. 2520; 3. 1/5; 4. 0,92; 5. 6010; 6. 2/9; 7. 67/315; 8. 98/9900
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
В работе рассмотрены особенности преподавания элементов теории вероятности и математической статистики в составе курса математики средней общеобразовательной школы. Кр.
Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики.
ТЕМА №10. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей и статистики.Вариант №1.1.Вычислите: 1) .
Разработка тестов по курсу элементарная математика на примере модуля "элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики
В ходе анализа темы были выявлены следующие темы для заданий входного контроля:1. Правила комбинаторики;2. Комбинаторные соединения;3.
Преподавание элементов теории вероятности и статистики в 5-9 классах. Система подготовки учащихся к итоговой аттестации по данной теме
Преподавание элементов теории вероятности и статистики в 5-9 классах. Система подготовки учащихся к итоговой аттестации по данной теме.
Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики
Материалы для подготовки к МЦКО 8 класс.
Данную рабочую прогрмму можно использовать при работе кружка, факльтатива, при ведении элективного курса.
Преподавание элементов теории вероятности и статистики в 5-9 классах. Система подготовки учащихся к итоговой аттестации по данной теме
Давно уже стало очевидным универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе. В нашу жизнь вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношений понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – всё это находится в сфере реальных интересов становления личности.
Подготовку человека к таким проблемам осуществляет школьный курс математики. Все перспективные государственные образовательные документы содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики. Теория сочетаний представляет средство для одной из важнейших способностей ума – способности представлять явления в различных комбинациях. Вопросы реформирования и модернизации нынешнего школьного образования подтверждают необходимость включения стохастической линии в школьный курс, так как изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире.
Цели и задачи
- введение в комбинаторику, знакомство с основными понятиями: перестановки, размещения, сочетания;
- введение в теорию вероятностей (частота и вероятность, сложение и умножение вероятностей);
- коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний;
- развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся, психических способностей ребенка, обеспечивающих его адаптацию в дальнейшей жизни, научить школьников учиться посредствам личностно-ориентированного подхода;
- воспитание творческой личности, умеющей самореализовываться и интегрироваться в системе мировой математической культуры;
- акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы;
- развивать способности учащихся к математической деятельности;
- способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных программой.
Урок 1. “Престановки”
Цели урока:
- познакомить с понятием “комбинаторика”, привести примеры комбинаторных задач;
- ввести (повторить) понятие “факториал”;
- дать определение понятия “перестановка”;
- доказать равенство Рn=n!;
- решать задачи на перестановки.
Ход урока
1) Что такое комбинаторика, решение комбинаторных задач, исторические комбинаторные задачи.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходиться составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число этих комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой. Слово “комбинаторика” происходит от латинского слова combinare – “соединять, сочетать”.
Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.
Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.
Пример 1. Дано три элемента a, b и c. Сколькими способами можно расставить эти элементы друг за другом?
Решение: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Всего 6 различных способов.
Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза?
| 1 | 3 | 5 | 7 | ||||||||||||||||||||
| 3 | 5 | 7 | 1 | 5 | 7 | 1 | 3 | 7 | 1 | 3 | 5 | ||||||||||||
| 5 | 7 | 3 | 7 | 3 | 5 | 5 | 7 | 1 | 7 | 1 | 5 | 3 | 7 | 1 | 7 | 1 | 3 | 3 | 5 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Итого 24 числа: 135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753. Такой способ решения называют деревом возможных вариантов.
Некоторые комбинаторные задачи решали ещё в Древнем Китае, а позднее – в Римской империи. Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке в связи с развитием теории вероятностей.
В древности для облегчения вычислений часто использовались камешки. При этом, особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной геометрической фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, . ):
Были сконструированы и треугольные числа (1, 3, 6, 10, 15, . ):
Все составные числа древние математики представляли в идее прямоугольников размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m 1 и n 1. Простые числа представляли в виде линий 1 х n. В связи с этим составные числа древние учёные называли прямоугольными, а простые – непрямоугольными числами.
Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!
Для того, чтобы в различных формулах не делать исключения для числа 0, принято соглашение: 0! = 1.
Таблица факториалов от 0 до 10:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n! | 1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5 040 | 40 320 | 362 880 | 3 628 800 |
В примерах 1 и 2 мы составляли различные комбинации элементов и чисел, переставляя их различными способами.
Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.
В приведённых примерах различных перестановок относительно не много. Но возможны другие задачи, в которых количество перестановок достаточно большое. Выписывать их неудобно, это занимает достаточно много времени и вероятность “потерять” какое-нибудь решение велика.
Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле:
Если n = 1, то Pn = 1! = 1 – верно.
Допустим, что Pk = k! – верно.
Докажем, что Pk+1 = (k + 1)! – тоже верно:
Мы имеем k + 1 элемент. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся k элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся k – 1 элементов и т.д. В результате получим, что
4) Примеры решения задач.
Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P8 = 8! = 40 320
Значит, существует 40 320 способов расстановки восьми участниц на восьми беговых дорожках. (Понятно, что решить эту задачу методом построения дерева возможных вариантов практически невозможно.)
Ответ: 40 320 способов.
Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные?
Решение: Количество четырёхзначных чисел, которые можно составить из 4-х различных цифр (без повторения цифр) равно числу перестановок из четырёх элементов P4. Но в этом случае будут образовываться числа, начинающиеся с 0, что невозможно. И таких перестановок будет P3. Следовательно, Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.
Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке?
Ответ: 241 920 способов.
5) Задачи для самостоятельного решения (в классе и дома).
1). Сколькими различными способами могут сесть на скамейку
Решение: а) Р5 = 5! = 120; б) Р7 = 7! = 5 040.
Ответ: а) 120 способов; б) 5 040 способов.
2). Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, используя красный, синий и белый цвета?
Решение: Р3 = 3! = 6.
3). Сколькими способами можно расставить по этапам четырёх участниц эстафеты в беге 4 х 100 м?
Решение: Р4 = 4! = 24.
Ответ: 24 способа.
4). Составьте всевозможные трёхзначные числа, в которых все цифры разные, используя лишь цифры:
а) 7, 5, 1; б) 2, 0, 9.
а) Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел: 751, 715, 571, 517, 175, 157.
б) Р3 – Р2 = 3! – 2! = 4 – всего 4 числа: 209, 290, 902, 920.
5). Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, если каждая цифра может использоваться только один раз?
Решение: Р4 = 4! = 24.
6). Учащиеся должны посетить во вторник по расписанию 5 уроков по следующим предметам: литература, алгебра, география, физкультура и биология. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, чтобы физкультура была пятым уроком?
Решение: Р4 = 4! = 24.
Ответ: 24 способа.
7). Из цифр 2, 3, 4, 7 составлены всевозможные четырёхзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:
а) начинаются с цифры 7;
б) не начинаются с цифры 4?
Решение: а) Р3 = 3! = 6; б) Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18.
Ответ: а) 6 чисел; б) 18 чисел.
8). Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые:
Решение: а) признак делимости на 4: если две последние цифры числа делятся на 4, то и всё число делится на 4. Следовательно, кратны 4 будут числа ***12, ***16, ***20, ***56. Количество чисел, оканчивающихся на 12, 16 и 56: Р3 – Р2 = 3! – 2! = 4 (т.к. 0 не может стоять на первом месте). Количество чисел, оканчивающихся на 20: Р3 = 3! = 6. Следовательно, .
б) Кратны 5 будут числа ****0: Р4 = 4! = 24 и ****5: Р4 – Р3 = 4! – 3! = 18. Следовательно, 24 + 18 = 42.
Ответ: а) 18 чисел; б) 42 числа.
9). В автомашине 5 мест. Сколькими способами в этой автомашине могут разместиться 5 человек, если место водителя могут занять только двое из них?
Решение: Р4 + Р4 = 4! + 4! = 48.
Ответ: 48 способов.
10). Чтобы открыть сейф, нужно набрать шифр, содержащий определённую последовательность из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, и другой шифр, содержащий последовательность из букв a, b, c, d, в которых буквы и цифры не повторяются. Сколько существует комбинаций, при которых сейф НЕ открывается?
Решение: (все возможные варианты минус один вариант, с помощью которого сейф можно открыть).
Ответ: 17 279 комбинаций.
11). Сколькими способами можно расставить на полке четыре книги по алгебре и три по геометрии, причём так, чтобы все книги по алгебре (в любом порядке) стояли рядом?
Ответ: 576 способов.
12). Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 4, 6, не повторяя цифр.
Решение: Р3 = 3! = 6 – всего 6 чисел.
246 + 264 + 426 + 462 + 624 + 642 = 2 664.
13). Число a = n! + 1, где , является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение a, если:
а) a – двузначное число;
б) a – трёхзначное число.
Решение: а) a = 25 при n = 4; б) a = 121 при n = 5.
Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр числа 123, если цифры в каждом числе не повторяются?
Составим все эти числа: 123; 132; 213; 231; 312; 321. Всего - 6 чисел. Обратим внимание: взяли первой цифру 1, с ней образовав 2 числа, цифру 2, с ней образовав 2 числа, цифру 3, с ней образовав 2 числа, т.е. общее количество всех чисел 3*2=6.
Так как цифры в числе переставляли, то логически следует назвать этот тип задач - перестановкой
*Любое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называют перестановкой из n элементов.
- 1. Количество элементов данного и полученного множества совпадает.
- 2. Важен порядок в множестве.
a) Факториал и его свойства.
- 6!/3! = (1*2*3)*4*5*6/3! = 3! * 4*5*6/3! = 4*5*6 = 120.
- (k! - (k+1)!)/k! = (k! - k!(k+1))/k! = k!(1-k-1)/k! = -k
- б) Перестановки.
Задача. Сколькими способами можно рассадить 5 гостей вокруг стола, если стоят 5 стульев?
Количество гостей совпадает с количеством стульев. Каждый гость садится на определённое место, т.е. в множестве важен порядок значит, это перестановка из 5 элементов.
Задачи.
- 1. a) n!/(n+1)!; б) n!/(n-2)!; в) (n+1)!/(n-2)!; г) n!/(n-k)! , n>k
- 2. Упростите:
- а) 1/(n+1)! - 1/(n+2)!; б) n!/(n+1)! - (n-1)!/n!
- а) (n-1)!/n! б) n!/(n-3)! в) (n-2)!/(n-4)! г) (n+1)!/(n-k+1)! , n>k
- а) 1/k! - 1/(k+1)! б) (n-2)!/n! - n!/(n+1)!
- а) (P5+P4)/P3 б) (P10 - P9)/9P8 в) P3k/P(3k-2)
- а) (P6+P5)/P4 б) (P12 - P11)/11P10 в) P(3k+2)/P(3k+1)
Цифр - 4; составить 4-х значных, значит в полученном множестве всех цифр - 4 => всех 4!. Но среди чисел не может быть четырехзначных с первой цифрой “0”, т.е. это - трёхзначные числа. Из полученного множества - убрать 3! (ответ: 4! - 3!)
- 11. Сколькими способами можно расставить 6 книжек на книжной полке? (ответ: P6 = 6!)
- 12. На танцевальной площадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут образовать пары для участия в очередном танце? (ответ Pn = n!)
- 13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;3;5;7 , если каждую из них использовать только один раз? (ответ 5!-4!)
- 14. Сколькими способами можно 8 учеников построить в колону по одному? (ответ P8)
- 15. Есть 10 книг, из которых 4 - учебники. Сколькими способами можно поставить эти книги на полку так, чтобы все учебники стояли рядом?(ВНО)
Пусть все 4 учебника как 1 книга. Тогда на полке надо расставить не 10 книг, а 7, т.е.
P7 = 7! В каждом таком наборе книг 4 учебника можно переставлять между собой P4 способами, т.е. P4 = 4!. Значит, P7 * P4 = 7!*4!
![]()
показать, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.
Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, тесты, книги.
Ход занятия
Класс разделен на группы. В группе может быть 4 или 5обучающихся.
Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся меняются поручениями.
Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?
ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)
Задачи такого типа называются комбинаторными.
Комбинаторные задачи делятся на несколько групп.
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! n! = 1 · 2 · 3 · . · n.
Факториалы растут удивительно быстро.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n! 1 4 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628800
Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
Кричит Мартышка, - погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Задача. У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
A94 =9!/5! = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Задача. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка)
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1) 30 2) 100 3) 120 4) 5
1) 128 2) 495 3) 36 4) 48
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1) 10 2) 60 3) 20 4) 30
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1) 100 2) 30 3) 5 4) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1) 3 2) 6 3) 2 4) 1
3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.
1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600
1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1) 24 2) 4 3) 16 4) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1) 30 2) 21 3) 14 4) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 22 2) 11 3) 150 4) 110
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1) 5 2) 120 3) 25 4) 100
2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?
1) 455 2) 45 3) 475 4) 18
3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?
1) 600 2) 100 3) 300 4)720
2) Проблемный вопрос:
Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ.
Области применения комбинаторики:
-учебные заведения ( составление расписаний)-сфера общественного питания (составление меню)
-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
-география (раскраска карт)
-биология (расшифровка кода ДНК)
-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
-криптография (разработка методов шифрования)
-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
-военное дело (расположение подразделений)
Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.
Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.
Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.
Комбинаторика вокруг нас.
1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Читайте также:
