При каких значениях лямбда из линейной независимости системы векторов

Обновлено: 29.01.2025

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с ₁ , с ₂ , …, с _k , не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: = , в противном случае система называется линейно независимой.

Покажем, что эти определения эквивалентны.

Пусть выполняется определение 1, т.е. один из векторов системы равен линейной комбинации остальных:

Линейная комбинация системы векторов равна нулевому вектору, причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю, т.е. выполняется определение 1´.

Пусть выполняется определение 1´. Линейная комбинация системы векторов равна , причем не все коэффициенты комбинации равны нулю, например, коэффициенты при векторе .

Один из векторов системы мы представили в виде линейной комбинации остальных, т.е. выполняется определение 1.

Определение 2. Единичным вектором, или ортом, называется n -мерный вектор , у которого i -я координата равна единице, а остальные - нулевые.

Теорема 1. Различные единичные векторы n -мерного пространства линейно независимы.

Доказательство. Пусть линейная комбинация этих векторов с произвольными коэффициентами равна нулевому вектору.

Из этого равенства следует, что все коэффициенты равны нулю. Получили противоречие.

Каждый вектор n -мерного пространства ā(а ₁ , а ₂ , . а _n ) может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов с коэффициентами, равными координатам вектора

Теорема 2. Если системы векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Пусть дана система векторов и один из векторов является нулевым, например = . Тогда с векторами данной системы можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору, причем не все коэффициенты будут нулевыми:

Следовательно, система линейно зависима.

Теорема 3. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство. Дана система векторов . Предположим, что система линейно зависима, т.е. найдутся числа с ₁ , с ₂ , …, с _r , не все равные нулю, такие, что = . Тогда

Получилось, что линейная комбинация векторов всей системы равна , причем не все коэффициенты этой комбинации равны нулю. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.

Доказательство.

Предположим противное, т.е. некоторая подсистема линейно зависима. Из теоремы следует, что вся система линейно зависима. Мы пришли к противоречию.

Теорема 4 (теорема Штейница). Если каждый из векторов является линейной комбинацией векторов и m > n , то система векторов линейно зависима.

Следствие. В любой системе n -мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.

Доказательство. Каждый n -мерный вектор выражается в виде линейной комбинации n единичных векторов. Поэтому, если система содержит m векторов и m > n , то, по теореме, данная система линейно зависима.

2 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 2

волна прорыва,и затопление местности

Другие вопросы по Математике

От двух автовокзалов одновременно отправились навстречу друг другу два автобуса со скоростями 50 км/ч и 40 км/ч. расстояние между автовокзалами равно 180 км. через сколько часов ав.

Народ решить: ) три числа образуют арифметическую прогрессию. сумма первых двух чисел равна 171,а третье больше первого в 6 раз. найти эти числа.

Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть А1, а2, … , аn (*) конечная система векторов из L. Вектор В = a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn ( 16) называется Линейной комбинацией векторов (*), или говорят, что вектор В линейно выражается через систему векторов (*).

Определение 14. Система векторов (*) называется Линейно зависимой, тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, что a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0. Если же a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, то система (*) называется Линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Действительно, если в системе (*) вектор А1 = 0, То 1×0 + 0×А2 + … + 0×Аn = 0.

20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

Пусть А1 = L×а2. Тогда 1×А1 –l×А2 + 0×А3 + … + 0×АN = 0.

30. Конечная система векторов (*) при n ³ 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Þ Пусть (*) линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов a1, a2, … , an, при котором a1×А1 + a2×А2 + … + an×Аn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что a1 ¹ 0. Тогда существует и А1 = ×a2×А2 + … + ×an×АN. Итак, вектор А1 является линейной комбинацией остальных векторов.

Ü Пусть один из векторов (*) является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т. е. А1 = B2А2 + … + bnАN, Отсюда (–1)×А1 + b2А2 + … + bnАN = 0, т. е. (*) линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов А1, а2, … , аn , … (**) называется Линейно зависимой, Если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система (**) называется Линейно независимой.

40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы.

50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима.

60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов А1, а2, … , аn , … (16) и В1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются Эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости).

Пусть и – две конечные системы векторов из L. Если первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то N £ s.

Доказательство. Предположим, что N > S. По условию теоремы

Так как система линейно независима, то равенство (18) Û Х1=х2=…=хN= 0. Подставим сюда выражения векторов : …+=0 (19). Отсюда (20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при Х1=х2=…=хN= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое решение, то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое решение Х10, х20, …, хN0. При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, N £ s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется Максимальной линейно независимой системой векторов Линейного пространства L, если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L Содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.

2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.

3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.

4. Во множестве всех многочленов степени не выше N С действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn Является максимальной линейно независимой.

5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются

а) 1, х, х2, … , хn, … ;

б) 1, (1 – х), (1 – х)2, … , (1 – х)N, …

6. Множество матриц размерности M´N является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является система матриц Е11 = , Е12 =, … , ЕMn = .

Пусть дана система векторов С1, с2, … , ср (*). Подсистема векторов из (*) называется Максимальной линейно независимой Подсистемой Системы (*), если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система (*) конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы (*) называется Рангом Этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

1°. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

□ 1. Пусть система, состоящая из одного вектора a₁, линейно зависима. Составим линейную комбинацию:

l₁ ¹ 0 в силу линейной зависимости системы. По определению операции произведения вектора на действительное число векторное равенство (1.3) означает, что каждая координата вектора a₁ равна нулю, то есть вектор a₁ – нулевой вектор, a₁ = 0.

2. Пусть теперь a₁ = 0. Составим линейную комбинацию: l₁a₁ = 0. Это равенство выполняется при любом значении l₁, в том числе и при l₁ ¹ 0, а это означает, что система, состоящая из одного вектора a₁ линейно зависима. ■

2°. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

□ Пусть система векторов a₁,…, a_k,…, a_m содержит нулевой вектор, например, a_k=0. Составим линейную комбинацию:

l₁a₁+…+l_ka_k+ …+ l_ma_m= 0. (1.4)

Положим l₁=0,…, l_k_–1=0, l_k¹0, l_k₊₁=0,…, l_m=0. Тогда равенство (1.4) справедливо и при этом , значит, система a₁,…, a_k,…, a_m линейно зависима. ■

3°. Система векторов, состоящая более чем из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда один вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.

□ 1. Пусть система векторов a₁,…, a_k,…, a_m линейно зависима. Тогда справедливо равенство: , причем . Пусть l_k ¹ 0. Поделим обе части равенства на l_k и выразим вектор a_k:

a_k = –a₁ – …–a_m, то есть вектор a_k является линейной комбинацией остальных векторов системы.

2. Пусть вектор a_k является линейной комбинацией остальных векторов системы, то есть a_k=l₁a₁ +…+l_ma_m. Тогда

– a_k+l₁a₁ +…+l_ma_m=0,

при этом l_k= –1 ¹ 0; значит, система a₁,…, a_k,…, a_m линейно зависима.■

4°. Если часть системы векторов линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

5°. Если система векторов линейно независима, то линейно независима любая ее подсистема.

Свойства 4° и 5° докажите самостоятельно.

6°. Если система a₁,…,a_m линейно независима, а система
a₁, …, a_m, a_m₊₁ – линейно зависима, то вектор a_m₊₁ является линейной комбинацией остальных векторов системы a₁,…,a_m: a_m₊₁ =.

□ Так как система a₁,…, a_m, a_m₊₁ – линейно зависима, то справедливы равенства:

l₁a₁+…+l_ma_m+l_m₊₁a_m₊₁=0 (1.5)

при условии, что .

Если l_m₊₁ = 0, то из равенства (1.5) следует, что l₁a₁+…+l_ma_m = 0, причем в силу линейной независимости системы a₁,…,a_m последнее равенство справедливо только если все коэффициенты равны нулю, т.е. . Но тогда , что противоречит условию, следовательно, l_m₊₁¹0. Тогда из равенства (1.5) имеем:

где , что и требовалось доказать. ■

Рассмотрим некоторые частные случаи систем векторов, в которых вопрос о линейной зависимости решается просто.

1. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

□ 1. Пусть система, состоящая из векторов a₁ и a₂, линейно зависима. Если хотя бы один из векторов системы нулевой, то векторы коллинеарны. Пусть теперь оба вектора ненулевые. Так как система
a₁, a₂ линейно зависима, в равенстве l₁a₁+l₂a₂ = 0 хотя бы один из коэффициентов l₁, l₂ не равен нулю. Пусть l₁ ¹ 0; тогда a₁ =a₂, или a₁ = k×a₂, где k =– некоторое число, значит, векторы a₁ и a₂ коллинеарны.

2. Пусть теперь векторы a₁ и a₂ коллинеарны. Если хотя бы один из этих векторов нулевой, то система a₁, a₂ линейно зависима (по свойству 2°). Пусть оба вектора ненулевые. Так как a₁ и a₂ коллинеарны, то найдется число k такое, что a₁ = k×a₂. Тогда
a₁– k×a₂ = 0, значит, система векторов a₁, a₂ линейно зависима (l₁ ¹ 0). ■

Трехмерные векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

2. Система, состоящая из трех ненулевых трехмерных векторов a₁,a₂,a₃, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

□ 1. Пусть система a₁,a₂,a₃ линейно зависима. Тогда по свойству 3° линейной зависимости векторов один из векторов системы является линейной комбинацией остальных, например, a₁=k₂a₂+k₃a₃. Геометрически это соотношение означает, что вектор a₁ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах k₂a₂ и k₃a₃, т.е. векторы a₁,a₂,a₃ лежат в одной плоскости (компланарны).

2. Пусть теперь векторы a₁,a₂,a₃ лежат в одной плоскости. Возможны два случая: 1) хотя бы два из трех векторов a₁,a₂,a₃ коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой (или на параллельных прямых); 2) векторы a₁,a₂,a₃ попарно не коллинеарны, т.е. никакие два из них не лежат на одной прямой.

В первом случае пусть, например, векторы a₁ и a₂ коллинеарны. Тогда по доказанному выше система a₁, a₂ линейно зависима, откуда по свойству 4° линейной зависимости следует, что система a₁,a₂,a₃ линейно зависима.

Во втором случае a₁ и a₂ не лежат на одной прямой. Проведем через конец вектора a₃ прямые, параллельные векторам a₁ и a₂ (рис.1.1). Тогда вектор a₃ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах a₁¢ и a₂¢, т.е. a₃= a₁¢ + a₂¢. Так как векторы a₁ и a₁¢, а также a₂ и a₂¢ коллинеарны, то a₁¢= k₁a₁, a₂¢=k₂a₂, значит, a₃= k₁a₁ + k₂a₂ и система a₁,a₂,a₃ линейно зависима.

Итак, доказано, что в каждом из рассмотренных случаев система векторов a₁,a₂,a₃ линейно зависима. ■

Рассмотрим систему векторов

Здесь , если и , . Системы векторов вида (1.6) будем называть диагональными. Очевидно, для диагональной системы всегда , т.е. число векторов не превышает числа координат в каждом отдельном векторе.

3. Диагональная система векторов линейно независима.

□ Составим линейную комбинацию векторов системы (1.6):

b = l₁a₁+…+l_рa_р.

Выясним, в каком случае вектор b равен 0, т.е. когда l₁a₁+…+l_рa_р=0. Последнее векторное равенство равносильно n равенствам координат:

Так как , то из первого уравнения имеем . Тогда из второго уравнения получим () и т.д. Подставляя в -ое уравнение полученные выше значения при условии получаем . Таким образом, равенство l₁a₁+…+l_рa_р=0 возможно лишь при условии , что и означает линейную независимость системы (1.6). ■

Из доказанного следует, что в пространстве R n существует линейно независимая система, содержащая ровно n векторов. Примером такой системы может служить система, состоящая из векторов

которая является частным случаем диагональной системы (1.6).

Естественно, возникает вопрос: можно ли в пространстве R n построить систему, состоящую более чем из n линейно независимых векторов? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема 1.1. В пространстве R n любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.

Итак, максимальное число содержащихся в пространстве R n линейно независимых векторов равно n и любой (n+1) вектор этого пространства линейно выражается через указанные n векторов.

Рассмотрим систему векторов a₁, a₂,…, a_k.

Определение. Базисом системы векторов a₁, a₂,…, a_k называется частичный набор векторов этой системы (подсистема), удовлетворяющий двум условиям:

1) векторы этого набора линейно независимы;

2) любой вектор системы a₁, a₂,…, a_k линейно выражается через векторы этого набора.

Векторы, входящие в базис, называются базисными векторами.

Рангом системы векторов называется число векторов ее базиса. Если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то система может иметь несколько базисов. Справедлива теорема, утверждающая, что все базисы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Пример. В системе векторов a₁=(–1;1;0), a₂=(2;0;1), a₃=(–3;3;0) найти все возможные базисы.

○ Вектор a₃ коллинеарен вектору a₁, значит, система векторов a₁, a₂, a₃ линейно зависима и ее ранг не превосходит двух. Так как векторы a₁ и a₂ неколлинеарны, а значит линейно независимы, то их можно взять в качестве базисных векторов. За базисные векторы можно также принять неколлинеарные векторы a₂ и a₃. Итак, в данной системе векторов существует два базиса: (a₁, a₂) и (a₂, a₃). ●

Рассмотрим простейшие свойства ранга системы векторов.

1°. Ранг системы векторов не превосходит числа векторов системы.

2°. Если система векторов линейно зависима, то ранг системы меньше числа векторов системы.

3°. Если система векторов линейно независима, то ранг системы равен числу векторов системы.

Понятие базиса можно распространить на векторное пространство R n , которое является бесконечной совокупностью n-мерных векторов.

Определение. Система векторов называется базисом пространства R n , если:

1) эта система векторов линейно независима;

2) любой вектор из R n линейно выражается через векторы данной системы.

В пространстве R n существует бесчисленное множество базисов. При этом справедлива следующая теорема:

Теорема 1.2. Линейно независимая система векторов в R n является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы
равно n.

Число n определяет размерность пространства.

1. Базисом пространства R 1 является любой ненулевой вектор a₁, лежащий на оси Ох, так как: 1) система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима; 2) любой другой вектор этого пространства по свойству операции умножения вектора на число линейно выражается через этот вектор: a₂ = k a₁.

2. Базис пространства R 2 образуют любые два неколлинеарных вектора, так как они линейно независимы.

3. Базис пространства R 3 образуют любые три свободные некомпланарные векторы, так как они линейно независимы.

4. Диагональная система векторов (1.6) при р = n является базисом пространства R n , так как состоит из n линейно независимых векторов.

Теорема 1.3. Любой вектор пространства R n можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, притом единственным образом.

□ Пусть векторы a₁,a₂,…,a_n образуют базис пространства R n . Тогда система a₁,a₂,…,a_n, b линейно зависима и по свойству 6° вектор b является линейной комбинацией остальных векторов системы:
b =. То, что такое представление единственно, докажем методом от противного.

Предположим, что существуют два различных разложения вектора b по базису a₁,a₂,…,a_n: b = и b =. Рассмотрим разность –, или 0=. Так как система a₁,a₂,…,a_n образует базис пространства R n и, значит, линейно независима, то из последнего равенства следует

, ,…, , или , ,…, . Но это противоречит тому, что разложения и b=различны. ■

В силу доказанной теоремы любой вектор в пространстве R n однозначно определяется коэффициентами разложения вектора
по данному базису, т.е. упорядоченной совокупностью действительных чисел (). Таким образом, коэффициенты разложения вектора по данному базису являются координатами этого вектора в данном базисе. Из доказанной теоремы следует, что равные векторы имеют равные координаты.

При переходе к другому базису координаты вектора, вообще говоря, меняются. Пусть, например, координаты вектора b = (1;–3) определены в базисе е₁=(1;0), е₂=(0;1), т.е. b = е₁–3е₂. Векторы a₁=(2;0), a₂=(–1;3) также образуют базис пространства R 2 . Координатами вектора b в базисе a₁, a₂ являются коэффициенты разложения этого вектора по базисным векторам.

откуда , . Тогда и координаты вектора b в базисе a₁,a₂ будут (0;–1).

Если не указан базис пространства R n , в котором задан вектор, мы будем полагать, что вектор задан в базисе

Пример. Найти разложение вектора b = 2е₁–е₂+3е₃ по векторам
a₁ = , a₂ = и a₃ = .

○ Векторы a₁, a₂, a₃ образуют диагональную систему векторов, значит, они линейно независимы. Число векторов системы n = 3 равно размерности пространства. Следовательно, по теореме 2.2 векторы
a₁, a₂, a₃ образуют базис пространства R 3 , и вектор b может быть разложен по этим векторам единственным образом. Составим линейную комбинацию

b = l₁a₁+ l₂a₂ + l₃a₃.

Это векторное равенство можно записать в координатной форме:

или системой уравнений:

Из первого уравнения получим l₁ = –1, тогда из второго уравнения l₂ = 0, и из третьего – l₃ = 5.

Таким образом, вектор b имеет координаты (–1; 0; 5) в
базисе a₁, a₂, a₃ или b = –a₁ +5a₃. ●

Для нахождения координат вектора в другом базисе пространства R n приходится решать систему n линейных уравнений относительно коэффициентов разложения вектора в этом базисе. В общем случае преобразованием координат вектора при переходе к другому базису мы будем заниматься в п. 4.

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Построим линейную комбинацию из векторов системы.

Далее, необходимо решить однородную систему линейных уравнений.

Как видим, первое и второе уравнения линейно зависимы, т.е. ранг системы равен 2. Так как ранг системы совпадает с числом неизвестных, то система имеет только нулевое решение.

Система линейно независима по критерию ЛНЗ.

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

Читайте также: