Матрица а не имеет обратной при лямбда равном

Обновлено: 04.02.2025

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Определение индексов для клеток матрицы

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются .

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой $_>$ считаются по формуле:

\[_>=\sum\limits_^>>\cdot _>\]

Другими словами: чтобы получить элемент $_>$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется , если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Определение. — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются $>$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как $>$ и считается по схеме:

Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_^$.
Затем умножаем этот определитель на $<<\left( -1 \right)>^>$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_^$.
Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой $>$ алгебраическими дополнениями $>$:

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска $>$. Зацените:

. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица $>$ существует и считается по формуле:

\[>=\frac<\left| A \right|>\cdot ^>\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений $>$ и расставить их на месте $>$.
Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q=/<\left| A \right|>\;$.

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin> & > & . & > & 1 & 0 & . & 0 \\> & > & . & > & 0 & 1 & . & 0 \\. & . & . & . & . & . & . & . \\> & > & . & > & 0 & 0 & . & 1 \\\end \right]\]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=>\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

, главная диагональ - единицы, остальные элементы нули.

Если Δ ≠ 0 , то матрица называется невырожденной или неособенной; иначе, если равен нулю - вырожденной или особенной.

Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.

Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.

Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле

где - алгебраические дополнения элементов a_ij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.

Вычисление -1 по формуле (1) если имеет высокий порядок трудоёмко, поэтому удобнее найти обратную с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е.

Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то результатом будет обратная матрица -1 . Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно вычислить А -1 , то следует использовать только строки или только столбцы.

Свойства обратной матрицы

det(A -1 ) = 1/det(A), det обозначает определитель матрицы.
(AB) -1 = A -1 B -1 для двух квадратных обратимых A и B.
(A -1 ) T = (A T ) -1 ;
(kA) -1 = A -1 /k;
(A -1 ) -1 = A;
E -1 = E;
Решение системы линейных уравнений Ax = b (b - ненулевой вектор), x - искомый вектор, если A -1 существует, то x = A -1 b.

Вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Алгоритм вычисления обратной А -1 :

Надо вычислить определитель |A|, если он не равен 0, то обратная А -1 существует.
Определяем * , матрица алгебраических дополнений _ij соответствующих элементов a_ij исходной матрицы . Сначала рассчитываем миноры M_ij - это определители, которые получаются вычёркиванием строки i и столбца j , _ij=(-1) i+j M_ij.
* = <> транспонируем - строки заменяем столбцами, *T - это союзная матрица (присоединённая, взаимная).
*T делим на |A|, обратная -1 = *T /Δ.

Пример_1. Дана 2×2 второго порядка, ? Найти обратную .

Найдём ||, он не равен 0, значит обратную -1 существует.
Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы : для первой строки, , для второй строки , .
Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) .
*T делим на Δ = -2. . Проверка

. Получена E, следовательно, обратная матрица

-1 вычислена верно.

Пример 2. Дана 3×3 третьего порядка, -1 ?.

Решение. det()?
он не равен 0, следовательно, обратная матрица -1 существует, ее можно вычислить по формуле: , где (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_ij исходной . Вычислим их:

, * = , присоединённая *T = Искомая обратная матрица -1 = *T /Δ,

Вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса-Жордана)

Пример 3. Методом элементарных преобразований вычислить -1 если = .

Решение. Приписываем к исходной справа единичную того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведём левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Поменяем местами 1 со 2 столбцы: ~. К третьему прибавим первый, ко второму - первый, × на -2: . Из первого вычтем удвоенный второй, из третьего - × на 6 второй; . Прибавим третий к первому и второму: . Умножим последний на минус один: . Справа от вертикальной черты квадратная таблица размером 3х3
.

Применение обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений

Пример 4 Решить систему.

В матричной форме она примет вид: AX = B. Умножим это уравнение на -1 слева,

||== 2 + 2 -1 -1 + 4 -1 = 5. Так как он не равен 0, то - невырожденная, значит обратная -1 существует. Вычислим элементы * :

Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) , делим ее на |A|= 5.

. Корни системы определим по формуле X = -1 B =

= x = =, исходная система решена x₁= 4, x₂= 2, x₃=1.

Обращение матрицы в Excel

Эта операция выполняется с помощью функции МОБР(). Сначала введем заполним ячейки A2:C4 исходные данные. Затем выделим ячейки под результат A7:C9 и нажмем комбинацию клавиш + + . В Excel всегда при матричных операций выделяется место под результат и вводится указанная комбинация клавиш.

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Найти обратную матрицу для матрицы

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы.

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Для квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ B_<> $ называется левой обратной, если $ BA=E_<> $, где $ E_<> $ — единичная матрица; для матрицы $ A_<> $ матрица $ C_<> $ называется правой обратной если $ AC=E $.

Теорема. Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы $ A_<> $ необходимо и достаточно, чтобы $ \det A_<> \ne 0 $. В этом случае, левая обратная матрица будет единственной и совпадает с правой обратной: $ AB=BA=E $.

Доказательство. Необходимость условия $ \det A_<> \ne 0 $ для существования, например, левой обратной матрицы следует из условия $$ \det (B \cdot A)= \det E \quad \iff \quad (\det B) (\det A) =1 \ . $$

При выполнении условия $ \det A_<> \ne 0 $ можем взять $$ A^=\frac< \operatorname(A) >= \left( \begin \frac> & \frac> & \dots & \frac> \\ &&& \\ \frac> & \frac> & \dots & \frac> \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac> & \frac> & \dots & \frac> \end \right) \ . $$ Пока что мы получили правую обратную матрицу: доказано, что она удовлетворяет условию $ A C = E_<> $. Проверка того, что полученная матрица будет являться и левой обратной, т.е. удовлетворяет условию $ C A=E $, производится снова с использованием теоремы о сумме произведений элементов столбца матрицы $ A_<> $ на алгебраические дополнения к другому столбцу той же матрицы (см. теорему $ 2 $ ☞ ЗДЕСЬ ). Теперь покажем, единственность полученной обратной матрицы. Предположим, что каким-то другим способом найдена еще одна матрица $ C_1 $ обладающая тем же самым свойством $ A C_1 = E $. Домножим это равенство слева на матрицу $ C_<> $: $$ C(AC_1) = C E \ . $$ Операция умножения матриц подчиняется ассоциативному закону, поэтому $$ (CA) C_1 = C , $$ но, по доказанному ранее, $ CA=E_<> $. И мы получили равенство $ C_1 = C $, доказывающее единственность правой обратной матрицы. Аналогично доказывается единственность и левой обратной. ♦

Обратную матрицу к матрице $ A_<> $ обозначают $ A_<>^ $, а сама процедура нахождения такой матрицы называется обращением матрицы $ A_<> $. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Способы построения

1. Первый способ следует из доказательства предыдущей теоремы. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы $ A_<> $, составим из них новую матрицу порядка $ n_<> $ и транспонируем ее. Полученная матрица $$ \operatorname(A) =\left(\left[A_ \right]_^n \right)^ = \left( \begin A_ & A_& \dots & A_ \\ A_ & A_ & \dots & A_ \\ \dots & & & \dots \\ A_ & A_ & \dots & A_ \end \right) $$ называется взаимной или союзной матрице $ A_<> $. При условии $ \det A_<> \ne 0 $ будем иметь: $$ A^=\frac= \left( \begin \frac & \frac & \dots & \frac \\ &&& \\ \frac & \frac & \dots & \frac \\ &&& \\ \vdots & & & \vdots \\ \frac & \frac & \dots & \frac \end \right) $$

Пример. Вычислить

$$ \left( \begin 4&7& 1 &5 \\ 3 & 4 & 0 &-6 \\ -11 & 8 & 2 & 9\\ -12 & -10 &0 & 8 \end \right)^ \ . $$

Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: $ \det A = -226 \ne 0 $. Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов: $$ \overbrace<\left| \begin 4 & 0 &-6 \\ 8 & 2 & 9\\ -10 &0 & 8 \end \right|>^>=-56, \ \overbrace<-\left| \begin 3 & 0 &-6 \\ -11 & 2 & 9\\ -12 &0 & 8 \end \right|>^>=96, \overbrace<\left| \begin 3 & 4 &-6 \\ -11 & 8 & 9\\ -12 &-10 & 8 \end \right|>^>=-854, \overbrace<-\left| \begin 3 & 4 & 0 \\ -11 & 8 & 2 \\ -12 & -10 &0 \end \right|>^>=36, $$ $$ A_=-58,\ A_=164,\ A_=-1506,\ A_=118, \dots, A_=58 \ . $$ Cоставляем из них матрицу: $$ \left( \begin -56 & 96 & -854 & 36 \\ -58 & 164 & -1506 & 118 \\ 28&-48 & 314& -9 \\ -40& 117 & -949 & 58 \end \right) \ . $$ и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!

2. Второй способ нахождения $ A^_<> $ часто называют методом Гаусса-Йордана 2) или методом приписывания единичной матрицы. Он, фактически, заключается в одновременном решении семейства систем линейных уравнений $$ AX_1=E_, AX_2=E_,\dots, AX_n=E_ $$ где $ E_, E_,\dots, E_ $ – столбцы единичной матрицы: $$ E_=\left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\ E_=\left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\dots, E_=\left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end \right),\ $$ Левые части этих систем одинаковы, поэтому метод исключения переменных Гаусса, примененный к одной, будет действителен и для другой - различия будут проявляться лишь в правых частях. Строго формальное обоснование метода следующее. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных $ x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n $: $$ AX=Y \ . $$ Здесь $ X=(x_1,\dots,x_n)^, Y=(y_1,\dots,y_n)^ $. Если $ A_<>^ $ существует, то эту систему можно разрешить относительно столбца переменных $ X_<> $: $$ X=A^Y \ . $$ С другой стороны, перепишем ту же систему в матричном виде: $$AX=Y \quad \iff \quad AX=EY \quad \iff \quad \left[A \mid E \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O_ \ ; $$ здесь $ E_<> $ — единичная матрица порядка $ n_<> $. Элементарными преобразованиями над строками матрицы $ \left[A \mid E \right] $ добиваемся того, чтобы в левой ее половине возникла единичная матрица: $ \left[E \mid Q \right] $ (этого всегда можно добиться при условии $ \det A_<>\ne 0 $). Поскольку элементарные преобразования приводят систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений), то $$ \left[A \mid E \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O \quad \iff \quad \left[E \mid Q \right] \left(\begin X \\ -Y \end \right)= \mathbb O \quad \iff \quad X=QY \ . $$ Сравнивая два представления решений системы, приходим к равенству $$ A^Y = QY $$ справедливому для любого столбца $ Y_<> $. Выбираем $ Y_<> $ из множества столбцов единичной матрицы, получаем: $$ A^E_= QE_,\ A^E_= QE_,\dots, A^E_= QE_ \quad \iff \quad A^E=QE \quad \iff \quad A^=Q \ . $$

Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной

1. Осуществляем конкатенацию матриц $ A $ и единичной матрицы $ E $ того же порядка: формируем расширенную $ n\times 2n_<> $-матрицу $ \left[A \mid E \right] $.

2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.

3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет $ A_<>^ $. Если это сделать невозможно, то $ \det A_<>=0 $, т.е. $ A_<>^ $ не существует.

Пример. Вычислить

$$ \left( \begin 4& 5 &1 \\ 1 & 3 &-2 \\ 3 & 1 & 2 \end \right)^ $$ приписыванием единичной матрицы.

Решение. $$\left(\begin 4& 5 &1&1&0&0\\ 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end\right)\to \left(\begin 1 & 3 &-2&0&1&0\\ 4& 5 &1&1&0&0\\ 3 & 1 & 2&0&0&1 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-7&9&1&-4&0\\ 0&-8&8&0&-3&1 \end\right) \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-8&8&0&-3&1\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&-7&9&1&-4&0 \end\right)\to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&2&1&-11/8&-7/8 \end\right) \to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&1&0&-3/8& 1/8\\ 0&0&1&1/2&-11/16& -7/16 \end\right)\to $$ $$ \to \left(\begin 1&3&-2&0&1&0\\ 0&-1&0&-1/2& 5/16& 9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end\right)\to $$ $$ \to \left(\begin 1&0&0&-1/2& 9/16 &13/16\\ 0&1&0&1/2&-5/16& -9/16\\ 0&0&1&1/2&-11/16&-7/16 \end\right) . $$

Ответ. $$ \left( \begin -1/2& 9/16 & 13/16 \\ 1/2&-5/16 & -9/16 \\ 1/2&-11/16 &-7/16 \end \right) $$

Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов

$$ \begin y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ y_6 \\ y_7 \end = \begin 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end \begin x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end + \begin 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end \pmod $$ Найти обратное преобразование.

Ответ ☞ ЗДЕСЬ.

3. Этот способ основан на теореме Гамильтона-Кэли. Если найден характеристический полином матрицы $ A_<> $: $$ \det(A-\lambda E)\equiv (-1)^n (\lambda^n + a_1 \lambda^ + \dots + a_\lambda + a_n ) \, $$ то при условии $ a_n \ne 0 $ матрица $ A_<> $ обратима и $$ A^= - \frac \left( A^+a_1 A^ + \dots + a_ E \right) \ , $$ т.е. $ A^ $ может быть вычислена посредством возведения в степень матрицы $ A_<> $.

Свойства операции обращения

Если в левой части каждого каждого из следующих равенств операции определены, то равенства справедливы:

Использование для решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей $ A $, т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных: $$ \left\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_1\\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_2\\ \ldots& & \ldots \\ a_x_1 +a_x_2+\ldots+a_x_n &=&b_n \end\right. \quad \iff \quad AX= <\mathcal B>$$ Теорема Крамера утверждает, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: $ \det A \ne 0 $. Это же условие является необходимым и достаточным и для существования обратной матрицы $ A^ $. Но тогда решение системы можно записать в матричной форме: $$ X=A^ <\mathcal B>\ , $$ и такое представление бывает удобно в тех задачах, в которых требуется решить семейства систем с одинаковой матрицей $ A $, но различными столбцами правых частей $ <\mathcal B>$. Как соотносятся формулы Крамера и только что полученная формула? — Для пояснения, распишем первую компоненту решения, воспользовавшись представлением обратной матрицы по способу 1 ( см. ☞ ЗДЕСЬ ). Имеем: $$ x_1 = \frac b_1 + \frac b_2 + \dots + \frac b_n $$ Но полученное выражение совпадает с разложением определителя $$ \frac \left| \begin b_ & a_ & \dots & a_ \\ b_ & a_ & \dots & a_ \\ \dots &&& \dots \\ b_ & a_ & \dots & a_ \end \right| $$ по первому столбцу, т.е. мы получили первую из формул Крамера.

Обратные к конкретным типам матриц

1. треугольной матрице (верхней или нижней), если существует, то будет треугольной матрицей (того же типа);

2. симметричной матрице, если существует, то будет симметричной матрицей;

3. кососимметричной матрице нечетного порядка не существует, а в случае четного порядка, если существует, то будет кососимметричной матрицей;

4. ортогональной матрице $ Q_<> $ всегда существует и получается транспонированием матрицы: $ Q^ = Q^ $.

5. квадратной матрице Вандермонда $$ \left( \begin 1& 1& \ldots& 1\\ x_1& x_2& \ldots& x_n\\ x_1^2& x_2^2& \ldots& x_n^2\\ \vdots& \vdots& & \vdots \\ x_1^& x_2^& \ldots& x_n^ \end \right) $$ существует тогда и только тогда, когда все $ x_1,\dots,x_n $ различны. Выражение ☞ ЗДЕСЬ.

Следующая теорема основана на связи определителя матрицы с ее собственными числами.

Теорема. Матрица $ A_<> $, у которой элементы каждой строки обладают свойством

$$ |a_|>|a_|+\dots+|a_|+|a_|+\dots+|a_| \quad npu \quad \forall j\in \ $$ (модуль элемента на главной диагонали больше суммы модулей остальных элементов строки) называется матрицей с диагональным доминированием (преобладанием). Такая матрица всегда обратима.

Доказательство следует из того факта, что $ \det A_<> \ne 0 $ тогда и только тогда, когда в наборе собственных чисел матрицы 3) $ A_<> $ нет нулевого (см. следствие к теореме 1 ☞ ЗДЕСЬ ). Локализовать собственные числа матрицы можно с помощью теоремы Гершгорина: любое собственное число $ \lambda_<> $ матрицы $ A_<> $ должно удовлетворять хотя бы одному неравенству $$ |\lambda - a_| ♦

Поскольку $ \det A_<> = \det A^ $, то утверждение теоремы будет справедливо и для матриц, у которых диагональное доминирование определяется через неравенства на элементы столбцов.

Обращение блочных матриц

Теорема [Фробениус]. 4) . Пусть имеется блочная квадратная матрица вида

$$ \left( \begin A & B \\ C & D \end \right) \quad , $$ где матрица $ A_<> $ — квадратная порядка $ k_<> $, а матрица $ D_<> $ — квадратная порядка $ \ell_<> $. Тогда $$\left( \begin A & B \\ C & D \end \right)^= \left( \begin A^ +A^BK^CA^ & -A^BK^ \\ -K^CA^ & K^ \end \right) \ , $$ где матрица $$ K=D-CA^B $$ называется шуровским дополнением 5) к подматрице $ A_<> $. Здесь предполагается, что матрицы $ A_<> $ и $ K_<> $ — неособенные.

При $ B=\mathbb O $ имеем:

$$ \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right)^= \left( \begin A^ & \mathbb O \\ -D^CA^ & D^ \end \right) \ , $$ если матрицы $ A_<> $ и $ D_<> $ — неособенные.

Доказательство. Будем искать $$ \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right)^ $$ в виде $$ \left( \begin X & Y \\ U & V \end \right)_ $$ при $ k\times k $-матрице $ X $ и $ \ell\times \ell $-матрице $ V $. Разбиваем матричное равенство $$ \left( \begin X & Y \\ U & V \end \right) \left( \begin A & \mathbb O \\ C & D \end \right) =\left( \begin E_k & \mathbb O \\ \mathbb O & E_ \end \right) $$ на четыре отдельных $$ \begin XA+YC=E_k, & YD=\mathbb O, \\ UA+VC=\mathbb O, & VD=E_ \end \quad \Rightarrow \quad \begin Y=\mathbb O, \\ V=D^. \end $$ Подставляем полученное в два оставшихся равенства: $ X=A^ $, $ U=-D^CA^ $. ♦

Найти обратную матрицу для матрицы Фробениуса

$$ <\mathfrak F>= \left( \begin 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \dots& &&&\ddots & & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ a_n & a_ & a_ & & \dots & a_2 & a_1 \end \right)_ $$

Решение и ответ ☞ ЗДЕСЬ

Обращение "возмущенных" матриц

Следующий результат формулируем только для случая вещественных матриц, хотя существует его обобщение для комплексных.

Теорема [Шерман, Моррисон]. [3]. Пусть матрицы

Особенно полезен этот результат для случая возмущения матрицы $ A_<> $ посредством матриц одноранговых:

Вычислить $ (A+B)^ $ для

$$ A=\left(\begin -7 & 22 & - 55 \\ -94 & 87 & -56 \\ 0 & -62 & 97 \end \right), \ B=\left(\begin 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end \right) \ , $$ если известно, что $$ A^ = \frac \left(\begin -4967 & -1276 & - 3553 \\ -9118 & 679 & -4778 \\ -5828 & 434 & -1459 \end \right) \ . $$

Этот прием вычисления обратной матрицы формализуется в методе пополнения [1]: последовательно находятся обратные матрицы к матрицам последовательности $$ A_0=E,A_1,\dots,A_n=A, $$ в которой $ A_ $ отличается от $ A_k $ заменой $ k $-й строки матрицы $ A_ $ на $ k $-ю строку матрицы $ A $.

Используется в модифицированном симплекс-методе, в котором на каждом шаге требуется вычислять обратную матрицу для матрицы, которая отличается от матрицы, полученной на предыдущем шаге только в одном столбце [4].

Эта матрица определяется не только для квадратной матрицы $ A_<> $.

Пусть сначала матрица $ A_<> $ порядка $ m\times n_<> $ — вещественная и $ m \ge n_<> $ (число строк не меньше числа столбцов). Если $ \operatorname (A) = n $ (столбцы матрицы линейно независимы), то псевдообратная к матрице $ A_<> $ определяется как матрица $$ A^=(A^A)^ A^ \ . $$ Эта матрица имеет порядок $ n \times m_<> $. Матрица $ (A^A)^ $ существует ввиду того факта, что при условии $ \operatorname (A) = n $ будет выполнено $ \det (A^ A) > 0 $ (см. теорему $ 2 $ в пункте ☞ ТЕОРЕМА БИНЕ-КОШИ или же пункт ☞ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ГРАМА ). Очевидно, что $ A^ \cdot A = E_ $, т.е. псевдообратная матрица является левой обратной для матрицы $ A_<> $. В случае $ m=n_<> $ псевдообратная матрица совпадает с обратной матрицей: $ A^=A^ $.

Пример. Найти псевдообратную матрицу к матрице

$$ A= \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end \right) \ . $$

Решение. $$ A^= \left( \begin 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end \right) \quad \Rightarrow \quad A^ \cdot A = \left( \begin 2 & 1 \\ 1 & 2 \end \right) \quad \Rightarrow \quad (A^ \cdot A)^ = \left( \begin 2/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end \right) \ \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \ A^ = (A^ \cdot A)^ A^ = \left( \begin 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \end \right) \ . $$ При этом $$ A^ \cdot A = \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right),\quad A \cdot A^ = \left( \begin 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 2/3 \end \right) \ , $$ т.е. матрица $ A^ $ не будет правой обратной для матрицы $ A_<> $. ♦

Концепция псевдообратной матрицы естественным образом возникает из понятия псевдорешения системы линейных уравнений. Если $ A^ $ существует, то псевдорешение (как правило, переопределенной и несовместной!) системы уравнений $ AX=\mathcal B_<> $ находится по формуле $ X= A^ \mathcal B $ при любом столбце $ \mathcal B_<> $. Верно и обратное: если $ E_, E_,\dots, E_ $ – столбцы единичной матрицы $ E_m $: $$ E_=\left( \begin 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\ E_=\left( \begin 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right),\dots, E_=\left( \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end \right),\ $$ а псевдорешение системы уравнений $ AX=E_ $ обозначить $ X_ $ (оно существует и единственно при условии $ \operatorname (A) = n $), то $$ A^=\left[X_1,X_2,\dots,X_m \right] \ . $$

Теорема. Пусть $ A \in \mathbb R^ $, $ m \ge n_<> $ и $ \operatorname (A) = n $. Тогда псевдообратная матрица $ A^ $ является решением задачи минимизации

$$ \min_> ||AX-E_m||^2 $$ где $ || \cdot || $ означает евклидову норму (норму Фробениуса) матрицы : $$ ||[h_]_||^2=\sum_ h_^2 \ . $$ При сделанных предположениях решение задачи единственно.

Образно говоря, если уж невозможно найти обратную матрицу для матрицы $ A \in \mathbb R^ $, давайте найдем хотя бы такую матрицу $ X_ $, чтобы отклонение произведения $ A\cdot X $ от единичной матрицы $ E_m $ (вычисленное как квадрат евклидова расстояния между матрицами $ A\cdot X $ и $ E_m $) было бы минимальным.

С учетом этого результата понятно как распространить понятие псевдообратной матрицы на случай матрицы $ A \in \mathbb R^ $, у которой число строк меньше числа столбцов: $ m ☞ ЗДЕСЬ.

[1]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960, с.187-192

[2]. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.Наука.1983, с.187-234

[3]. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Numerical Linear Algebra and Optimization. V.1. Addison-Wesley, NY, 1991

[4]. Таха Х. Введение в исследование операций. Т.1, глава 7. М.Мир. 1985

Фробениус Георг (Frobenius Ferdinand Georg, 1849-1917) — немецкий математик, ученик Вейерштрасса. Биография ☞ ЗДЕСЬ

Шур Исай (Schur Issai, 1875-1941) — немецкий математик, ученик Фробениуса. Родился в Могилёве. Биография ☞ ЗДЕСЬ.

Читайте также: