Лямбда функция связанная с функцией бесселя
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода.
Функции Неймана — решения [math]Y_\alpha(x)[/math] уравнения Бесселя, бесконечные в точке [math]x=0[/math] .
Эта функция связана с [math]J_\alpha(x)[/math] следующим соотношением:
где в случае целого [math]\alpha[/math] берётся предел по [math]\alpha[/math]
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми [math]J_\alpha(x)[/math] , являются решения, конечные в точке [math]x=0[/math] при целых или неотрицательных [math]\alpha[/math] . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых [math]\alpha[/math] ):
Здесь [math]\Gamma(z)[/math] — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения.
Г. БЕЙТМЕН и А. ЭРДЕЙИ
Ассистенты:
Д. Бертин, Д. Л. Томсон, В. Б. Фалкс,
Вряд ли есть необходимость много говорить о важности специальных функций для любого учёного и инженера, имеющего дело с практическим применением дифференциальных уравнений. Решение самых разных задач, относящихся к теплопроводности и динамике, электромагнитным колебаниям и аэромеханике, квантовой механике и теории потенциала, приводит к специальным функциям. Чаще всего они появляются при решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных.
Предлагаемая вниманию читателя книга занимает как бы промежуточное положение между этими двумя типами изданий. Она содержит краткие, но весьма ясно написанные выводы основных свойств изучаемых функций, по которым человек, не владеющий теорией, может её изучить. Но, кроме того, в неё включены многочисленные списки формул, касающихся наиболее важных специальных функций. Наконец, каждая глава книги сопровождается списком использованной литературы (помещённым в конце книги), что позволяет читателю найти дополнительную информацию об изучаемых функциях.
Эта книга была задумана (в несколько ином и более обширном виде) профессором Калифорнийского технологического института Гарри Бейтменом, одним из крупнейших американских специалистов в области классического анализа и его приложений к аэро- и гидромеханике, электромагнитной теории, термодинамике, геофизике В течение двух десятков лет он собирал рассеянные по различным монографиям и периодической литературе сведения о специальных функциях: их свойствах, интегральных и иных представлениях, связях между различными классами специальных функций, определённых интегралах, содержащих специальные функции, В результате этой работы была составлена гигантская картотека, содержавшая почти всё, что касалось указанных вопросов, а также теории дифференциальных уравнений математической физики, интегральных уравнений
Последовавшая в 1946 году смерть Бейтмена прервала его работу над задуманной энциклопедией классического анализа. Для обработки собранного материала был создан штаб во главе с известным английским математиком А. Эрдейи, в который вошли немецкие учёные В. Магнус и Ф. Оберхеттингер и итальянский математик Ф. Трикоми.
Несомненно, что эта энциклопедия классического математического анализа окажется полезной весьма широкому кругу читателей. Физики-теоретики и экспериментаторы, исследователи в области прикладного анализа и уравнений математической физики, инженеры, сталкивающиеся с решением дифференциальных уравнений, будут пользоваться этой книгой наряду с математиками самых различных специальностей.
Настоящий выпуск содержит теорию гипергеометрической функции и её обобщений и частных случаев (в частности, функций и многочленов Лежандра). Кроме того, в нём изложена теория гамма- и
Для облегчения пользования книгой многие применяемые авторами обозначения были заменены на обозначения, принятые в Советском Союзе (например, мы пишем arcsin x вместо ln x вместо log x
Трудно переоценить значение задуманного Бейтменом труда. Не имеющая себе равных осведомлённость его в математической литературе, как современной, так и давно опубликованной, а также его непревзойдённое усердие должны были сделать этот труд наиболее авторитетным изложением широкой области классического анализа и, во многих отношениях, устанавливающим общепризнанные стандарты своеобразным Большим оксфордским словарём для теории специальных функций.
Реалистическая оценка наших возможностей и отведённого времени привела к коренному пересмотру планов Бейтмена. Лишь сам Бейтмен обладал достаточной эрудицией для того, чтобы охватить теорию всех функций. Таким образом, нам пришлось ограничиться изложением (вероятно, менее подробным, чем это было задумано Бейтменом) самых существенных свойств тех специальных функций, которые мы рассматривали как наиболее важные. Разумеется, происшедшее в результате этого пересмотра обеднение содержания книги весьма прискорбно. Однако мы позволяем себе надеяться, что оно в некоторой мере уравновешивается достигнутым в результате сокращением объёма и большей прозрачностью структуры. Мы надеемся, что хотя получившаяся книга по широте охвата материала уступает задуманной Бейтменом, но в пределах намеченной нами сферы она окажется более удобной для использования.
Составление книги . Изложим кратко, как была написана эта книга. Сначала мы составили подробный перечень содержания книги. После этого каждый из руководящих работников штаба взял на себя написание определённых глав. В выполнении этой задачи им помогали более молодые сотрудники штаба. Однако главной обязанностью последних было составление таблиц интегральных преобразований, которые будут опубликованы отдельно. Наконец, написанные главы были просмотрены и отредактированы, чтобы достигнуть их согласованности. Из шести глав, вошедших в первую часть книги, Магнус писал гл. 2 и 4, Оберхеттингер 1 и 3, Эрдейи 5 и Трикоми 6. Взаимозависимость отдельных глав делала желательным сотрудничество авторов. Например, в теории функций Лежандра используются гипергеометрические ряды и, в соответствии с этим, Магнус и Оберхеттингер планировали свою работу так, чтобы достичь необходимой согласованности. Точно так же взаимозависимы гл. 2, 4 и 5, а потому Магнус и Эрдейи согласовывали свои планы.
В результате получился труд, содержащий главы весьма различного характера. Различие в изложении зависит в некоторой степени от индивидуальных вкусов основных авторов, но в значительно большей степени от того, что каждый класс функций требовал особого подхода. В тех случаях, когда рассматриваемые функции часто встречаются и имеют важные приложения, мы старались давать достаточно подробное дедуктивное изложение, сопровождаемое ссылками на литературу. Такие главы носят скорее характер учебника, за исключением того, что доказательства в них часто лишь намечаются, а не проводятся детально. С другой стороны, в случаях, когда изучаемые функции не играют большой роли в прикладной математике, мы ограничивались кратким изложением сведений об этих функциях, не выводя, как правило, их свойств. Наиболее характерным примером такого стиля изложения в этом томе является, вероятно, гл. 5. Встречаются и функции, общая теория которых может быть весьма кратко изложена, но практическое применение их связано с громадным набором формул, которые трудно изложить в удобном виде. В этих случаях мы включали в главу списки соответствующих формул либо как часть текста, либо как дополнение к главе. В связи с этим надо отметить, что, насколько нам известно, воспроизведённая в гл. 2 таблица Гурса всех квадратичных преобразований гипергеометрического ряда была ранее весьма труднодоступной; это же справедливо и относительно полного анализа вырожденного случая гипергеометрического уравнения В случае функций Бесселя проблема состояла в том, что результаты, полученные до были полно и систематично изложены в известном трактате Ватсона, в то время как многочисленные результаты, полученные после были рассеяны по различным источникам. В этом случае мы приняли решение менее подробно излагать результаты, содержащиеся в книге Ватсона, сосредоточив усилия на результатах, которые не были столь легко доступны читателю. Коротко говоря, практически каждый класс функций требовал особого подхода, и мы без колебаний решали возникавшие проблемы индивидуально в каждом случае. Для каждого случая мы искали решение, казавшееся нам наилучшим, жертвуя во многих случаях единством изложения.
Каждая глава сопровождается списком литературы [ Весь список литературы вынесен в конец книги. ], содержащим не только материалы, на которых было основано изложение в этой главе, но и те, которые необходимы читателю для поисков дальнейшей информации. Степень полноты этих списков зависела от индивидуальных вкусов авторов, а также от степени важности и характера функций. Следует отметить, однако, что ни в одном случае список литературы не исчерпывает всей библиографии, относящейся к данному классу функций. Задача составления систематической библиографии, относящейся к изучаемым функциям, неразрешима с помощью имевшихся в наличии сил; кроме того, такая библиография слишком увеличила бы объём книги.
Мы старались включать в эту книгу в основном функции, встречающиеся в прикладной математике. Выбор включаемых функций, равно как и выбор обозначений, делался исходя из принятого в математике. Например, для вырожденной гипергеометрической функции есть много обозначений. Мы использовали лишь два из них, обычно применяемые в математических работах, и кратко указали на другие обозначения; однако мы не касались обозначений, используемых в квантовой механике. Мы исключали малоизученные в математике специальные функции даже в тех случаях, когда для них существуют подробные таблицы, или они полезны в некоторых практических вопросах. С другой стороны, мы включили некоторые специальные функции, которых обычно не касаются в трудах подобного рода, например функции, встречающиеся в теории чисел, или некоторые специальные виды автоморфных функций. Главы, посвящённые этим функциям, следует рассматривать как пробные, и мы вполне отдаём себе отчёт в том, насколько проблематичным является такое добавление к обычному семейству специальных функций.
По большей части мы не смогли широко использовать обширные заметки Бейтмена; нам оказалось легче составить разделы, касающиеся различных функций, используя свои знания об этих функциях и дополняя их путём обычных поисков в доступной нам литературе. Однако в некоторых случаях заметки Бейтмена были широко использованы. Глава о производящих функциях возникла благодаря составленному Бейтменом каталогу производящих функций, и при её составлении мы широко пользовались этим каталогом.
Обозначения и ссылки . При выборе обозначений возникли своеобразные затруднения. Существуют специальные функции, например функции Бесселя первого рода, для которых есть общепринятые стандартные обозначения. В то же время в некоторых случаях, например для вырожденных гипергеометрических функций, имеется много существенно различных и независимых обозначений. Наиболее затруднительные проблемы возникали в связи с функциями, для которых более или менее одинаковые символы применяются в нескольких различных смыслах. Многочлены Эрмита обычно обозначают через или но иногда этими символами обозначают многочлены, возникающие при повторном дифференцировании функции а иногда при повторном дифференцировании Кроме того, одни авторы включают а другие этого не делают. Мы старались придерживаться на протяжении всей книги одних и тех же обозначений. Наиболее существенное отклонение от этого принципа произошло для вырожденной гипергеометрической функции: в большей части книги мы обозначаем но в гл. 6 (и некоторых следующих главах) тот же ряд обозначается (а второе решение вырожденного гипергеометрического уравнения
Насколько это возможно, мы следовали обычным обозначениям. Для функций Бесселя были использованы обозначения, применявшиеся Ватсоном в его монументальном труде, для ортогональных многочленов мы использовали обозначения Сегё (за исключением обозначения для ультрасферических многочленов). Что касается функций Лежандра, то мы, следуя книгам ЯнкеЭмде и МагнусаОберхеттингера, а также некоторым другим авторам, различали определение функций Лежандра, применимое для отрезка и определение, применимое во всей комплексной плоскости, исключая этот отрезок. В сомнительных случаях мы использовали обозначения, применённые в более удобных или более обширных таблицах. Мы придерживались обозначений, применяемых в таблицах, и в случаях, когда считали, что с математической точки зрения предпочтительнее были бы иные обозначения. Все обозначения истолковываются в том месте, где они впервые встречаются. В конце тома приложены указатель обозначений, который должен помочь читателю выяснить смысл каждого обозначения, применяемого в этой книге, и предметный указатель, в котором приведены обозначения для любой функции, встречающейся в тексте.
Многие главы книги можно читать независимо от остальных, но встречаются и многочисленные перекрестные ссылки. Внутри каждого пункта равенства обозначаются просто с помощью номеров. Если данное равенство используется в другом пункте, оно обозначается с помощью номера пункта, дополненного номером равенства. Таким образом (3) обозначает пункта, в котором делается ссылка, а 2.1(3) обозначает ссылку на из Ссылки на литературу даются путём указания фамилии автора и года публикации.
Сложность и объём выполненной работы делают тщетной надежду на то, что нам удалось полностью избежать ошибок в выводах и опечаток. Подписавшийся будет благодарен за все исправления, которые могут оказаться весьма полезными в случае, если понадобится второе издание книги.
В заключение я хочу выразить благодарность от имени всего штаба проекта Калифорнийскому технологическому институту и особенно декану Е. Ватсону за то, что они начали эту работу и оказывали нам большую поддержку во всех проблемах, с которыми нам пришлось сталкиваться. Я выражаю также благодарность всем моим коллегам, без содействия которых этот труд не мог бы появиться в свет.
Этот код ищет в массиве строк первый элемент, содержащий подстроку " nut ". Таким образом, он выдает следующий результат:
И пока он работает, его можно улучшить.
Корень проблемы здесь в том, что std::find_if требует, чтобы мы передали ей указатель на функцию. Из-за этого мы вынуждены определять функцию, которая будет использоваться только один раз, ей нужно дать имя и поместить в глобальную область видимости (потому что функции не могут быть вложенными!). К тому же эта функция такая короткая, что легче понять, что она делает, по строкам кода, чем по названию и комментариям.
Лямбды спешат на помощь
Лямбда-выражение (также называемое лямбда (lambda) или замыкание (closure)) позволяет нам определять анонимную функцию внутри другой функции. Вложенность важна, поскольку она позволяет нам избежать загрязнения пространств имен и определять функцию как можно ближе к тому месту, где она используется (обеспечивая дополнительный контекст).
Синтаксис лямбда-выражений – одна из самых странных вещей в C++, и к нему нужно немного привыкнуть. Лямбды имеют вид:
Захват и параметры могут быть пустыми, если они не нужны.
Тип возвращаемого значения является необязательным, и если он опущен, будет использоваться значение auto (т.е. использование вывода типа для определения типа возвращаемого значения). Хотя мы ранее отмечали, что следует избегать вывода типа для типов, возвращаемых функцией, в этом контексте его можно использовать (поскольку эти функции обычно очень тривиальны).
Также обратите внимание, что лямбды не имеют имени, поэтому нам не нужно его указывать.
В качестве отступления.
Это означает, что определение простейшего лямбда-выражения выглядит так:
Давайте перепишем приведенный выше пример с помощью лямбда-выражения:
Это работает так же, как и случай с указателем на функцию, и дает идентичный результат:
Обратите внимание, насколько похоже наше лямбда-выражение на нашу функцию containsNut . У них обоих одинаковые параметры и тела функций. Лямбда не имеет захвата (что такое захват, мы объясним в следующем уроке), потому что он не нужен. И мы в лямбде опустили завершающий тип возвращаемого значения (для краткости), но поскольку operator!= возвращает bool , наша лямбда также вернет bool .
Тип лямбды
В приведенном выше примере мы определили лямбду именно там, где это было необходимо. Такое использование лямбды иногда называют функциональным литералом.
Однако запись лямбды в той же строке, где она используется, иногда может затруднить чтение кода. Подобно тому, как мы можем инициализировать переменную литеральным значением (или указателем на функцию) для использования позже, мы также можем инициализировать лямбда-переменную с помощью определения лямбда-выражения, а затем использовать ее позже. Именованная лямбда вместе с хорошим именем функции может упростить чтение кода.
Например, в следующем фрагменте мы используем std::all_of , чтобы проверить, все ли элементы массива четны:
Мы можем улучшить читаемость следующим образом:
Но какой тип у лямбды isEven ?
Оказывается, лямбды не имеют типа, который мы могли бы использовать явно. Когда мы пишем лямбду, компилятор генерирует только для этой лямбды уникальный тип, который нам не предоставляется.
Для продвинутых читателей
На самом деле лямбды не являются функциями (что является частью того, как они избегают ограничения C++, не поддерживающего вложенные функции). Это особый вид объектов, называемых функторами. Функторы – это объекты, которые содержат перегруженный operator() , который делает их вызываемыми как функции.
Хотя мы не знаем тип лямбды, есть несколько способов сохранить лямбду для использования после определения. Если лямбда имеет пустой список захвата, мы можем использовать обычный указатель на функцию. В следующем уроке мы познакомимся с лямбда-захватами, указатель на функцию в этот момент больше не будет работать. Однако для лямбда-выражений можно использовать std::function , даже если они что-то захватывают.
Единственный способ использовать реальный тип лямбды – использовать auto . У auto также есть преимущество в отсутствии дополнительных затрат по сравнению с std::function .
К сожалению, мы не всегда можем использовать auto . В случаях, когда фактическая лямбда неизвестна (например, потому что мы передаем лямбду в функцию в качестве параметра, и вызывающий определяет, какая лямбда будет передана), мы не можем использовать auto без компромиссов. В таких случаях можно использовать std::function .
Вывод этой программы:
Если бы мы использовали auto для типа fn , вызывающий функцию не знал бы, какие параметры и возвращаемый тип должна иметь fn . Кроме того, функции с параметрами auto нельзя разделить на заголовочный и исходный файл. Мы объясняем причину этого ограничения, когда будем говорить о шаблонах.
Правило
Используйте auto при инициализации переменных лямбда-выражениями, или std::function , если вы не можете инициализировать переменную лямбда-выражением.
Обобщенные лямбда-выражения
По большей части параметры лямбд работают по тем же правилам, что и параметры обычных функций.
Одним примечательным исключением является то, что, начиная с C++14, нам разрешено использовать auto для параметров (примечание: в C++20 обычные функции также смогут использовать auto для параметров). Когда лямбда имеет один или несколько параметров auto , компилятор из вызовов лямбды определит, какие типы параметров необходимы.
Поскольку лямбда-выражения с одним или несколькими параметрами auto потенциально могут работать с широким спектром типов, они называются обобщенными лямбда-выражениями.
Для продвинутых читателей
При использовании в контексте лямбда-выражения auto – это просто сокращение для шаблонного параметра.
Давайте посмотрим на обобщенную лямбду:
В приведенном выше примере мы используем параметры auto для захвата наших строк по константной ссылке. Поскольку все строковые типы разрешают доступ к своим отдельным символам через operator[] , нам не нужно заботиться о том, передает ли пользователь std::string , строку в стиле C или что-то еще. Это позволяет нам написать лямбду, которая могла бы принимать любой из этих типов, а это означает, что если мы изменим тип через несколько месяцев, нам не придется переписывать лямбду.
Однако auto не всегда лучший выбор. Рассмотрим следующий код:
В этом примере использование auto приведет к выводу типа const char* . Со строками в стиле C нелегко работать (если не считать использования operator[] ). В этом случае мы предпочитаем явно определить параметр как std::string_view , что позволяет нам намного проще работать с базовыми данными (например, мы можем запросить у строкового представления его длину, даже если пользователь передал массив в стиле C).
Обобщенные лямбды и статические переменные
Следует знать, что для каждого типа, в который выводится auto , будет сгенерирована уникальная лямбда. В следующем примере показано, как одна обобщенная лямбда превращается в две разные лямбды:
В приведенном выше примере мы определяем лямбду, а затем вызываем ее с двумя разными параметрами (строковый литеральный параметр и целочисленный параметр). Это генерирует две разные версии лямбды (одна со строковым литеральным параметром, а другая с целочисленным параметром).
В большинстве случаев это несущественно. Однако обратите внимание, что если обобщенное лямбда-выражение использует переменные статической продолжительности, эти переменные совместно не используются сгенерированными лямбда-выражениями.
Мы можем видеть это в приведенном выше примере, где каждый тип (строковые литералы и целые числа) имеет свой уникальный счетчик! Хотя мы написали лямбду только один раз, было сгенерировано две лямбды, и каждая имеет свою версию callCount . Чтобы иметь общий счетчик для двух сгенерированных лямбда-выражениях, нам нужно определить глобальную переменную или статическую локальную переменную вне лямбда-выражения. Как вы знаете из предыдущих уроков, как глобальные, так и статические локальные переменные могут вызывать проблемы и затруднять понимание кода. Мы сможем избежать этих переменных после того, как поговорим о лямбда-захватах в следующем уроке.
Вывод возвращаемого типа и завершающие возвращаемые типы
Если используется вывод типа возвращаемого значения, возвращаемый тип лямбды выводится из инструкций return внутри лямбды. В этом случае все инструкции return в лямбда-выражении должны возвращать один и тот же тип (иначе компилятор не будет знать, какой из них предпочесть).
Это приводит к ошибке компиляции, поскольку тип возврата первой инструкции return ( int ) не соответствует типу возврата второй инструкции return ( double ).
В случае, если мы возвращаем разные типы, у нас есть два варианта:
- выполните явное приведение, чтобы все возвращаемые типы совпадали, или
- явно укажите тип возвращаемого значения для лямбда-выражения и позвольте компилятору выполнить неявные преобразования.
Второй вариант – обычно лучший выбор:
Таким образом, если вы когда-нибудь решите изменить тип возвращаемого значения, вам (обычно) нужно будет только изменить тип возвращаемого значения лямбды, и не касаться тела лямбда.
Функциональные объекты стандартной библиотеки
Для распространенных операций (например, сложения, отрицания или сравнения) вам не нужно писать свои собственные лямбды, потому что стандартная библиотека поставляется с множеством базовых вызываемых объектов, которые можно использовать вместо этого. Они определены в заголовке .
Вместо того чтобы преобразовывать нашу функцию greater в лямбду (что немного скрывает ее значение), мы можем вместо этого использовать std::greater :
Заключение
Лямбда-выражения и библиотека алгоритмов могут показаться излишне сложными по сравнению с решением, использующим цикл. Однако эта комбинация может позволить реализовать некоторые очень мощные операции всего в нескольких строках кода и может быть более читабельной, чем написание ваших собственных циклов. Вдобавок ко всему, библиотека алгоритмов обладает мощным и простым в использовании параллелизмом, которого вы не получите с циклами. Обновить исходный код, использующий библиотечные функции, проще, чем обновить код, использующий циклы.
Лямбды – это здорово, но они не заменяют обычные функции во всех случаях. Для нетривиальных и многоразовых случаев предпочитайте использование обычных функций.
Небольшой тест
Вопрос 1
Создайте структуру Student , в которой хранятся имя и баллы учащегося. Создайте массив студентов и используйте std::max_element , чтобы найти студента, набравшего наибольшее количество баллов, затем распечатайте имя этого студента. std::max_element принимает начало и конец списка и функцию, которая принимает 2 параметра и возвращает истину, если первый аргумент меньше второго.
Проверьте код на следующем массиве.
Ваша программа должна напечатать
Вопрос 2
Используйте std::sort и лямбда-выражение в следующем коде, чтобы отсортировать сезоны по возрастанию средней температуры (температура приведена в Кельвинах).
Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где α — произвольное действительное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя α , и − α порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Содержание
Применения
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
-
в цилиндрическом волноводе;
- теплопроводность в цилиндрических объектах;
- формы колебания тонкой круглой мембраны
- скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Определения
Поскольку приведённое уравнение является уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми Jα(x) , являются решения, конечные в точке x = 0 при целых или неотрицательных α . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых α ):
, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.
Ниже приведены графики Jα(x) для α = 0,1,2 :
Если α не является целым числом, функции Jα(x) и J − α(x) линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если α целое, то верно следующее соотношение:
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений α , используя интегральное представление:
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
Функции Бесселя второго рода
Функции Бесселя второго рода — решения Yα(x) уравнения Бесселя, бесконечные в точке x = 0 .
Yα(x) также иногда называют функцией Неймана (Ньюмана) и обозначают как Nα(x) . Эта функция связана с Jα(x) следующим соотношением:
где в случае целого α берётся предел по α , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Ниже приведён график Yα(x) для α = 0,1,2 :
Свойства
Асимптотика
и неотрицательных α они выглядят так:
\left( \frac \right) ^\alpha " width="" height="" />
\frac <\pi>\left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox\quad\alpha=0 \\ \\ -\frac <\pi>\left( \frac \right) ^\alpha & \mbox\quad\alpha > 0 \end \right." width="" height="" />
,
где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (0.5772…), а Γ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:
<\pi x>> \cos \left( x-\frac<\alpha\pi> - \frac<\pi> \right)" width="" height="" />
<\pi x>> \sin \left( x-\frac<\alpha\pi> - \frac<\pi> \right)." width="" height="" />
Гипергеометрический ряд
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
Таким образом, при целых n функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
См. также
Литература
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое "Функция Бесселя" в других словарях:
функция Бесселя — Beselio funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Bessel function vok. Bessel Funktion, f rus. функция Бесселя, f pranc. fonction de Bessel, f … Fizikos terminų žodynas
Функция Ломмеля — Функция Ломмеля неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя: Введена немецким математиком Эйгеном фон Ломмелем.[1][2] Интегральное выражение функции Ломмеля: где … Википедия
Функция Неймана — Функции Бесселя в математике семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя функции целых… … Википедия
Бесселя функции — Функции Бесселя в математике семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя функции целых… … Википедия
Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя: Интегральное выражение функции Ангера: где функция Бурже. При целых функция Ангера совпадает с функцией Бе … Википедия
Функция sinc(x) — Функция sinc(x) … Википедия
Функция Струве — Функция Струве неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя: Интегральное выражение функции Струве: Разложение в ряд … Википедия
Функция Макдональда — Модифицированные функции Бесселя это функции Бесселя от мнимого аргумента. Если в дифференциальном уравненни Бесселя заменить на , оно примет вид Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя … Википедия
БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка: илц в самосопряженной форме: Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1): Б … Математическая энциклопедия
БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ — цилиндрические функции1 го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения. При действительных положительных значениях аргумента и индекса (… … Математическая энциклопедия
Читайте также: