В вертикально расположенном цилиндре под невесомым поршнем находится газ расстояние от поршня до дна

Обновлено: 12.03.2025

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения действительно сложных задач.

Состояние поршня до разогрева и после

Задача 1. В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой кг. Он отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном пружиной жесткостью Н/м. При температуре К поршень расположен на расстоянии м от дна цилиндра. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты м? Молярная масса газа кг/моль.

Как всегда, при решении задач по физике главное – хорошо представить себе, что происходит. Сначала: пружина находится в слегка растянутом состоянии – это надо хорошо понимать. Есть такое положение поршня, когда пружина не растянута, но пока мы не знаем, что это за положение. Потом: пружина растянется больше, чем в начальном положении, что связано с нагревом и расширением газа. То есть и в первом, и во втором положении поршня пружина растянута.

Тогда для первого состояния газа

Объем газа поначалу:

Здесь – высота расположения поршня над дном, когда пружина в нерастянутом положении.

Где

Тогда уравнение состояния газа будет выглядеть так:

Вот теперь мы можем найти то положение поршня, когда пружина находится в нерастянутом состоянии:

Теперь переходим к рассмотрению состояния газа, когда его нагрели:

Здесь , .

Тогда

Осталось подставить в нашу формулу начальное положение поршня – , и количество вещества – . Получаем:

$T_2=\frac {(H- h+\frac{m R T }{M k h})k MH}{m R }$

$T_2=\frac {HMk(H- h)+\frac{m R T H}{h}}{m R }=\frac {HMk(H- h)}{mR}+\frac {HT}{h}$

$T_2=\frac {0,5\cdot29\cdot20(0,5- 0,2)}{0,0831}+\frac {0,5\cdot290}{0,2}=726$

Ответ: 726 К. Остался вопрос: что ж это за газ такой с молярной массой 29 кг/моль, когда, например, у ртути она 200 г/моль? А у самого тяжелого элемента – лоуренсия – 256 г/моль?

Задача 2. Гелий массой 20 г бесконечно медленно переводят из состояния, в котором газ занимает объем л при давлении Па в состояние с термодинамическими параметрами л, Па. До какой наибольшей температуры нагревается газ в этом процессе?

Рисунок к задаче и изотерма

В осях , в которых изображен график, изотермы представляют собой гиперболы. Лежащая выше всех изотерма соответствует самой высокой температуре. Прямая, изображающая процесс, будет касательной к данной изотерме. Выведем уравнение данной прямой. Имея две точки, принадлежащие ей, это нетрудно сделать. Общее уравнение прямой , в нашем случае . Подставив в это уравнение координаты точек – то есть давление и объем для каждого состояния – получим коэффициенты прямой.

Вычитая уравнения, имеем

Определим второй коэффициент, подставив первый в любое из уравнений:

$b =\frac{ p_1(V_1-V_2)- (p_1-p_2)V_1}{ V_1-V_2}$

Тогда наша зависимость давления от объема приобретает вид:

$p=kV+b=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}$

Уравнение состояния газа

Подставляем в него полученную зависимость давления от объема:

$\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V^2+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}V=\nu R T$

Мы получили квадратичную зависимость: причем надо обратить внимание на то, что прямая на первом рисунке имеет отрицательный наклон, то есть , а значит, и в уравнении полученной квадратичной зависимости первый коэффициент – отрицательный, и парабола у нас будет расположена ветвями вниз. То есть функция, полученная нами, имеет максимум в вершине параболы, которую легко найти, располагая ее уравнением.

$V_{max}=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}}{2\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}}= \frac{ p_1V_2-p_2V_1}{2(p_1-p_2)}=20$

Определяем коэффициенты и численно:

$b =\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}=20\cdot10^5$

Максимальное давление будет:

$p_{max}=k V_{max}+b=-0,5\cdot20\cdot10^5+20\cdot10^5=10\cdot10^5$

$T_{max}=\frac{ p_{max} V_{max}}{\nu R}=\frac{10^6\cdot20\cdot10^{-3}}{5\cdot 8,31}=481,3$

Здесь .

Задача 3. Два одинаковых сосуда соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений Па. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом идеальный газ при температуре под давлением Па. Затем оба баллона нагрели до температуры . Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.

В первом сосуде был газ в состоянии

Когда температура поднялась, то состояние газа изменилось, более того, изменилось и количество вещества, так как часть газа перешла во второй сосуд.

В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.

Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении . В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до , а большую охладить до ?

Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: .

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

Его количество пропорционально величине:

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

После изменения температур в левой части состояние газа таково:

Возьмем отношение двух последних равенств:

То есть, подставляя и , получим:

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{\frac{ p_1V_1}{ T_1}}{\frac{ p_1V_2}{ T_1}}\frac{ T_2}{ T_3}=\frac{V_1 T_2}{V_2 T_3}=\frac{127+273}{2(273-123)}=\frac{4}{3}$

Ответ:

Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре . Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса см на две части объемами см и см . Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.

Давление изначально одинаково с обеих сторон: .

Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:

А в правой части:

После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:

Возьмем отношение двух последних равенств:

Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:

Количество газа в правой части сосуда пропорционально:

Так как объем равен произведению , то

$l_1-\Delta l=\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

$l_1-\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2} l_2=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

Но , поэтому в левой части имеем:

$l_1-\frac{V_1 T_1}{S T_2}=\Delta l+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\Delta l$

И, так как , то

$l_1-\frac{l_1 T_1}{ T_2}=\Delta l \left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$

$l_1\left(1-\frac{T_1}{ T_2}\right)=\Delta l\left(1+\frac{V_1 T_1}{V_2 T_2}\right)$

Но нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение :

$\Delta l=\frac{10\cdot10^{-6}\left(1-\frac{273}{ 303}\right)}{\pi\cdot(0,02)^2+\frac{\pi\cdot(0,02)^2 \cdot10\cdot273}{50\cdot303}}=0,0067$

Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.

Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой см . До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, Н? Начальное давление воздуха в сосуде Па, начальная температура .

Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда

А так как процесс изохорный, то

$\Delta p=p_1-p_0=\frac{p_0T_2}{T_1}-p_0=p_0\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$

$\Delta T=\frac{F T_1}{S p_0}=\frac{12\cdot(273-3)}{2,5\cdot10^{-4}\cdot10^5}=127$

Ответ: газ надо нагреть на , то есть до температуры .

Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?

Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть

При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:

Следовательно, так как , то

$\frac{mg}{S}=\frac{ p_1V_1}{ V_2}- p_1=p_1\left(\frac{V_1}{ V_2}-1\right)$

Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда, и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что

$\frac{ V_{1n}}{ V_{2n}}=\frac{ p_{1n}+\frac{mg}{S}}{ p_{1n}}=1+\frac{mg}{S p_{1n}}$

Подставим давление поршня:

Перейдем к объемам:

Подставим эти соотношения:

Запишем объем после нагрева через приращение объема:

$(V_1-\Delta V)V_1=(2V_1-\Delta V)( V_2+\Delta V)$

$V_1^2-\Delta V\cdotV_1=2V_1V_2+2V_1\Delta V- \Delta V V_2-\Delta V^2$

Перейдем к полному объему сосуда:

$\frac{9}{16}V^2-\Delta V\frac{3V}{4}=2\frac{V}{4}\frac{3V}{4}+2\frac{3V}{4}\Delta V- \Delta V \frac{V}{4}-\Delta V^2$

Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на :

$\frac{9}{16}- \frac{3\Delta V }{4V }=\frac{6}{16}+\frac{6\Delta V }{4V} - \frac{\Delta V}{4V}-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2$

$\frac{3}{16}- \frac{2\Delta V }{V }+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2=0$

Где – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.

Пусть - объем половины цилиндра. Из соотношений

$\begin \mathchoice>>>=\alpha, \end$

$\begin V_1 +V_2 =2V \end$

$\begin V_1=\mathchoice>>>, \end$

$\begin V_2 =\mathchoice>>>. \end$

Используя уравнения состояния газа в нижней и верхней частях цилиндра, находим давления газа в этих частях:

$\begin p_1 =\mathchoice>>>, \end$

$\begin p_2 =\mathchoice>>> \end$

(при начальной температуре ,

$\begin<displaymath> p_1$

$\begin<displaymath> $

(при температуре ). Здесь - количество молей газа в верхней части цилиндра.

Из условия равновесия поршня вытекает соотношение

$\begin<displaymath> p_1 -p_2 =$

Подставляя сюда найденные выше давления, получаем квадратное уравнение относительно :

$\begin \alpha ^2-2\left( <\mathchoice>>>> \right)\alpha -2=0. \end$

Условию задачи удовлетворяет положительный корень.

Ответ: .

Решение:
Согласно условию задачи изменения давления не происходит т.е. процесс изобарный p = const.

где - работа совершаемая газом при его нагревании, иначе эту формулу можно записать как
- изменение внутренней энергии газа.
Из выше описанного имеем:

Количества вещества распишем как: . Тогда Дж
Или 0,831 кДж ≈ 0,8 кДж.

Ответ: Q = 0,8 кДж.

*Примечание
Для умников* можно не переводить в систему СИ в дано значения.
Также

Новые вопросы в Физика

Срочно. порівняйте напруги на провідниках , якщо в одному виконується робота 12 Дж при перенесенні заряду 2,4, а в другому 18 Дж при перенесенні зар … яду 0,9 Кл

Расстояние между двумя неподвижными зарядами q1 = -2 X 10-9 Кл и q2 = 10-9 Кл равно 1 м. В какой точке напряжённость электрического поля равно нулю?

1.M*яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 60 м/с. Який шлях він пролетить за останню секунду підняття? 2. Tіло падає без початкової швидкості впрод … овж 5 с. Визначте 1) висоту, з якої падало тіло: 2)швидкість, якої набуде тіло, пройшовши 5 м; 3) швидкість у момент удару о землю 4) шлях за останню секунду падіння. Допоможіть будь ласка!

Швидкість руху тіла задана рівнянням v=20-2t. Визначити характер руху тіла. Визначити переміщення тіла через 5 с руху. Визначити час руху тіла до зупи … нки. СРОЧНООООО

1. Визначте опір дротини, виготовленої з вольфраму, довжина якої 10 см, а площа поперечного перерізу 2 мм2. 2. Алюмінієвий дріт довжиною 200 см із пло … щею поперечного перерізу 0,2 мм2 підключили до гальванічного елемента напругою 9 В. Визначте силу струму через дріт.

визначити масу гідрогену що знаходиться в балоні місткістю 20л за тиску 830 кПа якщо температура газу дорівнює 17°С

.ЕРС джерела 100В. При зовнішньому опорі 49 Ом сила струму в колі рівна 2 А. Визначити силу струму короткого замикання.

Читайте также: