В пекарне 3 вида пирожных сколькими способами карина может выбрать 5 пирожных
При выборе M элементов из N различных элементов говорят, что они образуют Соединение из N элементов по M. Различают три вида соединений элементов:
1. Размещениями называются соединения, которые отличаются друг от друга составом элементов или их порядком, и каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.
Например, выпишем все размещения элементов a, b, c, d по два: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
2. Перестановками из N элементов называются соединения, каждое из которых содержит N различных элементов, взятых в определенном порядке.
Например, выпишем все перестановки из элементов a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
3. Сочетаниями из N элементов по M называются соединения, отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом, каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.
Например, выпишем все сочетания из элементов a, b, c, d, e по три: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Пример 1. Сколько всего пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?
Решение. Это задача о выборе и размещении по пяти разным местам пяти из десяти различных цифр. Поэтому число указанных телефонных номеров равно .
Пример 2. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Следовательно, указанных чисел имеется .
Пример 1. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?
Решение. Из всех указанных цифр последней может быть только цифра 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Значит, нужно найти число перестановок из пяти элементов. . Таким образом, можно составить 120 указанных чисел.
Пример 2. Сколькими способами семь книг разных авторов можно поставить на полке в один ряд?
Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг . Следовательно, имеется 5040 способов осуществить расстановку книг.
Пример 1. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?
Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по два. Так как , то указанную выборку читатель может осуществить десятью способами.
Пример 2. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?
Решение. Каждой точке пересечения диагоналей соответствуют четыре вершины семиугольника, а каждой четверке вершин семиугольника соответствует одна точка пересечения. Поэтому число всех точек пересечения диагоналей равно числу способов, которыми среди семи вершин можно выбрать четыре вершины. Поскольку , то число точек пересечения диагоналей равно 35.
Правило сложения
Если некоторый предмет может быть выбран из совокупности предметов способами, а другой предмет может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами. Правило распространяется на совокупность .
Правило умножения
Если некоторый предмет можно выбран из совокупности предметов способами и после каждого такого выбора предмет может быть выбран способами, то пара объектов (,) в указанном порядке может быть выбрана способами. Правило распространяется на совокупность .
Пример 1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?
Решение. В указанной комиссии может быть либо один математик и семь экономистов, либо два математика и шесть экономистов. Выбор одного математика из двух возможен способами, а семи экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов равно . Выбор двух математиков из двух возможен способом, а шести экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из двух математиков и семи экономистов равно . Общее число способов выбора комиссии с одним или с двумя математиками по правилу сложения равно .
Пример 2. Сколько существует делителей числа 210?
Решение. Разложим данное число на простые множители: . Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно (это числа 6, 10, 14, 15, 21, 35); число делителей, составленных из произведения трех простых множителей, равно (это числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырем (это числа 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно правилу сложения, число всех делителей равно .
До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из N различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с повторениями.
Размещения с повторениями. Например, выпишем размещения по три из элементов 4 и 5 с повторениями: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 455.
Задача о числе размещений с повторениями: Сколькими способами можно разместить по M различным местам любые M предметов, выбранных из N различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более M?
Пример 1. Каждый телефонный номер состоит из 5 цифр. Сколько всего телефонных номеров, содержащих только цифры 2, 3, 5 и 7?
Решение. Это задача о числе размещений в пяти разных местах пяти цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более пяти. Так как , то число всех указанных телефонных номеров равно 1024.
Пример 2. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?
Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно . Число всех указанных букв равно 62.
Перестановки с повторениями – перестановки из N предметов, в каждую из которых входят одинаковых предметов одного типа, одинаковых предметов другого типа и т. д. . Например, выпишем перестановки с повторениями цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза: 4455, 5544, 4545, 5454, 4554, 5445.
Задача о числе перестановок с повторениями: Сколькими способами можно переставить N предметов K различных типов каждого типа соответственно одинаковых предметов, расположенных на n разных местах?
Пример 1. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 красные лампочки?
Решение. способами.
Пример 2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове какао, чтобы получались всевозможные различные наборы букв?
Решение. способами.
Сочетания с повторениями. Например, выпишем все сочетания из трех цифр 3, 4,5 по два с повторениями: 33, 34 (43), 35 (53), 44, 45 (54), 55.
Задача о числе сочетаний с повторениями: Если имеется по M одинаковых предметов каждого из N различных типов, то сколькими способами можно выбрать M из этих M×N предметов?
Пример 1. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Решение. способов.
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятирублевых и из четырех двухрублевых монет?
Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.
Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:
(12.1)
Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.
Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:
В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).
В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.
Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А
. Поэтому.
Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,
Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,
, .
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.
12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?
Ответ: .
12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?
Ответ: .
12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
Ответ: .
12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
Ответ: .
При выборе M элементов из N различных элементов говорят, что они образуют Соединение из N элементов по M. Различают три вида соединений элементов:
1. Размещениями называются соединения, которые отличаются друг от друга составом элементов или их порядком, и каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.
Например, выпишем все размещения элементов a, b, c, d по два: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
2. Перестановками из N элементов называются соединения, каждое из которых содержит N различных элементов, взятых в определенном порядке.
Например, выпишем все перестановки из элементов a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
3. Сочетаниями из N элементов по M называются соединения, отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом, каждое из которых содержит M элементов, взятых из N различных элементов.
Например, выпишем все сочетания из элементов a, b, c, d, e по три: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Пример 1. Сколько всего пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?
Решение. Это задача о выборе и размещении по пяти разным местам пяти из десяти различных цифр. Поэтому число указанных телефонных номеров равно .
Пример 2. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Следовательно, указанных чисел имеется .
Пример 1. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не повторяется?
Решение. Из всех указанных цифр последней может быть только цифра 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Значит, нужно найти число перестановок из пяти элементов. . Таким образом, можно составить 120 указанных чисел.
Пример 2. Сколькими способами семь книг разных авторов можно поставить на полке в один ряд?
Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг . Следовательно, имеется 5040 способов осуществить расстановку книг.
Пример 1. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти имеющихся?
Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по два. Так как , то указанную выборку читатель может осуществить десятью способами.
Пример 2. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей?
Решение. Каждой точке пересечения диагоналей соответствуют четыре вершины семиугольника, а каждой четверке вершин семиугольника соответствует одна точка пересечения. Поэтому число всех точек пересечения диагоналей равно числу способов, которыми среди семи вершин можно выбрать четыре вершины. Поскольку , то число точек пересечения диагоналей равно 35.
Правило сложения
Если некоторый предмет может быть выбран из совокупности предметов способами, а другой предмет может быть выбран способами, то выбрать либо , либо можно способами. Правило распространяется на совокупность .
Правило умножения
Если некоторый предмет можно выбран из совокупности предметов способами и после каждого такого выбора предмет может быть выбран способами, то пара объектов (,) в указанном порядке может быть выбрана способами. Правило распространяется на совокупность .
Пример 1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?
Решение. В указанной комиссии может быть либо один математик и семь экономистов, либо два математика и шесть экономистов. Выбор одного математика из двух возможен способами, а семи экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов равно . Выбор двух математиков из двух возможен способом, а шести экономистов из десяти – способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из двух математиков и семи экономистов равно . Общее число способов выбора комиссии с одним или с двумя математиками по правилу сложения равно .
Пример 2. Сколько существует делителей числа 210?
Решение. Разложим данное число на простые множители: . Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно (это числа 6, 10, 14, 15, 21, 35); число делителей, составленных из произведения трех простых множителей, равно (это числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырем (это числа 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно правилу сложения, число всех делителей равно .
До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из N различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с повторениями.
Размещения с повторениями. Например, выпишем размещения по три из элементов 4 и 5 с повторениями: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 455.
Задача о числе размещений с повторениями: Сколькими способами можно разместить по M различным местам любые M предметов, выбранных из N различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более M?
Пример 1. Каждый телефонный номер состоит из 5 цифр. Сколько всего телефонных номеров, содержащих только цифры 2, 3, 5 и 7?
Решение. Это задача о числе размещений в пяти разных местах пяти цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более пяти. Так как , то число всех указанных телефонных номеров равно 1024.
Пример 2. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?
Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно . Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно . Число всех указанных букв равно 62.
Перестановки с повторениями – перестановки из N предметов, в каждую из которых входят одинаковых предметов одного типа, одинаковых предметов другого типа и т. д. . Например, выпишем перестановки с повторениями цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два раза: 4455, 5544, 4545, 5454, 4554, 5445.
Задача о числе перестановок с повторениями: Сколькими способами можно переставить N предметов K различных типов каждого типа соответственно одинаковых предметов, расположенных на n разных местах?
Пример 1. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4 красные лампочки?
Решение. способами.
Пример 2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове какао, чтобы получались всевозможные различные наборы букв?
Решение. способами.
Сочетания с повторениями. Например, выпишем все сочетания из трех цифр 3, 4,5 по два с повторениями: 33, 34 (43), 35 (53), 44, 45 (54), 55.
Задача о числе сочетаний с повторениями: Если имеется по M одинаковых предметов каждого из N различных типов, то сколькими способами можно выбрать M из этих M×N предметов?
Пример 1. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Решение. способов.
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех пятирублевых и из четырех двухрублевых монет?
Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.
Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n - 1)!
Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n1 – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа - способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно
Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают
Основная литература:
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы
aba и abc –разные наборы
Изучение этого случая начнем с простого примера:
В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?
Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.
Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.
Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.
Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:
(12.1)
Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.
Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:
В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).
В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.
Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А
. Поэтому.
Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,
Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,
, .
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.
12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?
Ответ: .
12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?
Ответ: .
12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
Ответ: .
12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
Ответ: .
Читайте также: