Определить лямбда так чтобы один из корней многочлена равнялся удвоенному другому

Обновлено: 28.01.2025

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Пусть - корень многочлена , тогда, по теореме Безу, . Возможны два варианта: 1. Число не является корнем многочлена , в этом случае называется простым корнем многочлена .

2. Число является корнем многочлена , тогда, применяя теорему Безу уже к , получим , . Применяя к те же рассуждения, придём к выводу: если - корень многочлена , то единственным образом представляется в виде , где . Число в этом случае называется кратностью корня .

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен при имеет хотя бы один корень ; если кратность этого корня равна , то, согласно изложенному, представляется в виде , где . Если , то многочлен имеет корень , и представляется в виде . Если , эти выкладки можно продолжить; окончательный вывод формулируется так: любой многочлен степени

при старшем коэффициенте единственным (с точностью до порядков сомножителей) образом может быть представлен в виде , где - (попарно различные) корни многочлена, - их кратности, - количество различных корней. Общее число корней многочлена с учётом их кратностей равна : .

9.2.2. Многочлены с действительными коэффициентами. В этом разделе мы рассмотрим многочлен от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты - действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если - число, сопряжённое к числу , то . Док-во: Для любого действительного числа операция сопряжения не меняет это число: , поэтому

2. Если - корень многочлена , то - тоже корень этого многочлена. Док-во: если , то .

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то без остатка делится на квадратный трёхчлен , где . Док-во: так как числа - корни , то представляется в виде .

4. Если - корень многочлена кратности , то - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

- попарно различные действительные корни этого многочлена, - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней кратностей ) с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. При выводе предыдущего утверждения мы существенно использовали тот факт, что - комплексная переменная (в частности, когда ссылались на основную теорему алгебры). В то же время в самом полученном представлении многочлена все участвующие величины (кроме ) - действительные числа. Предположим теперь, чтобы переменная принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами от действительной переменной может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где смысл всех параметров описан выше.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

Получили противоречие. Этот случай невозможен.

Теорема о рациональных корнях многочлена

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях,заключающая в себе

Если целое число α - корень многочлена с целыми коэффициентами, то α - делитель его свободного члена.

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

Так как числа a₀, a₁,…a_n-1, an и α −целые, то в скобке стоит целое число, и, следовательно, a_n делится, на α, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.

2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1 )

вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

=a₀(bⁿ- cⁿ)+a₁(bⁿ -1 -cⁿ -1 )+…+a_n-1(b-c)

и, следовательно, для многочлена P с целыми коэффициентами и целых чисел b и c разность P(b)-P(c) делится на b-c.

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀x n +a₁x n − 1 + +a_n₋₁x+a_n =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена a_n.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2.Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a₀x n +a₁x n − 1 + +a_n₋₁x+a_n является x = c , такое, что f(c)=0.

Замечание 3.Если x = c корень многочлена f(x)=a₀x n +a₁x n − 1 + +a_n₋₁x+a_n, то многочлен можно записать в виде : f(x)=(x−c)q(x), где q(x)=b₀x n − 1 +b₁x n − 2 + +b_n−2x+b_n−1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x - c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a₀x n +a₁x n − 1 + +a_n₋₁x+a_n, a₀≠0, g(x)=x−c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b₀x n − 1 +b₁x n − 2 + +b_n−2x+b_n−1, где b₀=a₀,

a₀	a₁	a₂	.	a_n−₁	a_n
x = c	b₀=a₀	b₁=c b₀+a₁	b₂=c b₁+a₂	.	b_n₋₁=c b_n₋₂+a_n₋₁	r=c b_n₋₁+a_n

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b₀=a₀. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример.Решить уравнение x 3 −x 2 −8x+12=0

a0=1	a1=−1	a2=−8	a3=12
x = 1	-8	не корень
x = -1	-2	-6	не корень
x = 2	-6	корень

Решение:Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x 3 −x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x+3)=0 x=2;x=-3

Формула Кардано

Формула Кардано — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

Определим Q:

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .

Найти корни многочлена
Доброго времени суток!) Помогите, пожалуйста, решить задание по алгебре)или скажите как решаются.

Найти рациональные корни многочлена
3. Найти рациональные корни многочлена : f(x)= 4x^4 - 8x^3 - 3x^2 + 5x + 2

Найти рациональные корни многочлена
Здравствуйте помогите найти рациональные корни, пробовал методом перебора и исключений, ничего не.

sunjan, а что означает такая запись, когда n = 4, знаете?

Сколько будет, например,

Пример 2. Корни 5, 5, 7, 7. ( Многочлен: (x-5) 2 (x-7) 2 . ) Дискриминант: .

Пример. sunjan, не хотите сами попробовать?

Ну у нас i,j от 1 до 4х.И произведение 7*6*5*5*4*3=12600(что. )

Давайте рассмотрим к.-н. пример. Многочлен имеет корни 3, 4, 5, 6. Чему равен дискриминант? Какой знак у дискриминанта?

Если ,то знак положительный и дискриминант равен 144.(если я опять не накосячил)))

Многочлен имеет корни 3, 4, 5, 6. Чему равен дискриминант? Какой знак у дискриминанта?
знак положительный и дискриминант равен 144.

Да, верно. Дискриминант равен ( если a₄ = 1 ):

Если все корни вещественные, то дискриминант . (какой? какие свойства у квадрата вещественного числа? ).
Значит, если D

Дискриминант многочлена 4-й степени:

Верно. Значит все корни различные.

Что касается комплексных корней, то они всегда существуют.

Много слов. Такой многочлен имеет ровно 2 вещественных корня. Достаточно убедиться в том, что не может быть так, что все четыре корня не вещественны. Вот это здесь главное. Ну а определения знать, конечно, надо.

Наверно четыре корня.

Найти рациональные корни многочлена
Найти рациональные корни следующего многочлена: 24x4 - 42x3 - 77x2 + 56x - 60.

Найти остальные корни многочлена и разложить его на неприводимые множители
Известно, что α является корнем многочлена f(x). Найти остальные корни многочлена и разложить его.

Найти корни многочлена второй степени (с комплексными коэффициентами) на множестве комплексных чисел
Q(x) = ix2+4x+2ix+4-7i Необязательно решать, за ответ приму и подробное пояснение. Заранее.

Кратные корни многочлена
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста выяснить при каком необходимом и достаточном условии многочлен.

Корни многочлена 3-ей степени
Доброго времени суток! Помоготе решить задачу. При каких целых значениях a и b число .

Комплексные корни многочлена
Пусть a1,a2,a3,a4 - комплексные корни многочлена x^4+x^3+2x^2-2x-3 (с учетом кратности) Найти .

Первой производной многочлена называется многочлен вида:

Второй производной многочлена называется производная от первой производной многочлена :

Для многочленов справедливы правила дифференцирования:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Теорема о кратном множителе многочлена :

Если является k-кратным множителем в разложении многочлена над P, то этот многочлен будет являться множителем (k-1) кратности в разложении его производной .

Покажем, что .

Сумма .

Многочлен для является (k-1)-кратным.

Теорема о k-кратном корне многочлена :

, c – k-кратный корень многочлена .

Всякое число с, являющееся корнем k-кратности многочлена , является корнем его производной кратности (k-1).

Дано: c – k-кратный корень.

c – корень (k-1) кратности.

Пример: ,

-32	-76
-22	-14

- могут быть нулями.

Произведение всех общих множителей, входящих в разложение каждого из них:

произведение неприводимых множителей, входящих в разложение хотя бы одного.

Учитывая теорему о k-кратном множителе многочлена можно доказать следующую теорему.

2) Многочлен не имеет кратных множителей ó .

Пусть дан многочлен .

Дано: многочлен не имеет кратных множителей.

В произведение будут входить в 0-ой степени.

Тогда .

. => Значит каждый в разложение входит в 0-ой степени, значит, в сам многочлен он войдет в 1 степени.

Пример:

Есть ли кратные неприводимые множители?

- 4-ой степени.

Любой неконстантный многочлен над полем комплексных чисел имеет хотя бы один корень.

Следствие 1. Любой неконстантный многочлен над полем комплексных чисел разложим в произведение линейных множителей:

Здесь - старший коэффициент многочлена, – все различные комплексные корни многочлена, - их кратности. Должно выполняться равенство

Доказательство этого следствия можно провести индукцией по степени многочлена . Для линейного многочлена утверждение тривиально. Пусть утверждение следствия справедливо для многочленов степени меньше чем и нам дан многочлен степени Согласно основной теореме алгебры комплексных чисел, многочлен имеет корень . По теореме Безу, разность делит , т.е . Многочлен имеет степень и к нему применимо предположение индукции. Разлагая а линейные множители, мы тем самым разложим и многочлен на линейные множители. После это следует собрать в одну степень линейные множители с одинаковыми корнями?

Следствие 2. Любой неконстантный многочлен над полем действительных чисел разложим в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами:

Здесь - все различные действительные корни многочлена , -- их кратности, все дискриминанты меньше нуля, и квадратные трехчлены все различны.

Доказательство следствия 2 опирается на лемму

Лемма. Пусть - комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами. Тогда сопряженное число есть также корень .

Доказательство леммы. Пусть . По условию . Тогда

Здесь использовалось равенство и гомоморфность сопряжения.

Доказательство следствия 2 проводим также по индукции как и доказательство следствия 1. База индукции ясна, обоснуем индукционный переход. Пусть - комплексный корень многочлена . Если , то заканчиваем также как и в доказательстве следствия 1. Пусть , т.е. . Тогда по теореме Безу, многочлен представим в виде

Обозначим , т.е. . Так как

то и - действительные числа. Тогда и - многочлен с действительными коэффициентами, к которому можно применить индукционное предположение.

Доказательство леммы закончено.

Примеры. А. Разложим многочлен на неприводимые множители. Среди делителей константного члена 6 ищем корни многочлена. Убеждаемся, что 1 и 2 – корни. Тем самым многочлен делится на . Поделив, находим

- окончательное разложение над полем , ибо дискриминант квадратного трехчлена отрицателен и, следовательно, он над полем действительных чисел далее не разложим. Разложение того же многочлена над полем комплексных чисел получим, если найдем комплексные корни квадратного трехчлена . Они суть . Тогда

- разложение данного многочлена над

Б. Разложим над полями действительных и комплексных чисел. Так как действительных корней этот многочлен не имеет, то он разложим на два квадратных трехчлена с отрицательными дискриминантами

Так как при замене на многочлен не меняется, то при такой замене квадратный трехчлен должен переходить в и наоборот. Отсюда и . Приравнивая коэффициенты при получаем В частности, . Тогда из соотношения (получается подстановкой извлекаем , и окончательно, . Итак,

- разложение над полем действительных чисел.

Для того, чтобы разложить данный многочлен над комплексными числами, решим уравнение по формуле (3) п. 4. Здесь . Следовательно,

- разложение над комплексными числами. Легко вычислить

и мы получаем другое решение задачи о разложении многочлена над полем действительных чисел.