Находящийся в вакууме тонкий очень длинный стержень заряжен равномерно с линейной плотностью лямбда

Обновлено: 26.01.2025

Электростатика
§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел

Условия задач и ссылки на решения на тему:

1 Три одинаковых положительных заряда Q1=Q2=Q3=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах
РЕШЕНИЕ

2 Два заряда 9Q и -Q закреплены на расстоянии 50 см друг от друга. Третий заряд Q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым
РЕШЕНИЕ

3 Тонкий стержень длиной l=30 см несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью τ=1 мкКл/м. На расстоянии r0=20 см от стержня находится заряд Q1= 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем
РЕШЕНИЕ

13.1 Определить силу взаимодействия двух точечных зарядов Q1=Q2=1 Кл, находящихся в вакууме на расстоянии r=1 м друг от друга.
РЕШЕНИЕ

13.2 Два шарика массой m=0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной l=20 см каждая. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол 60. Найти заряд каждого шарика.
РЕШЕНИЕ

13.3 Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол α. Шарики погружаются в масло плотностью 8*10^2 кг/м3. Определить диэлектрическую проницаемость ε масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным. Плотность материала шариков 1,6*10^3 кг/м3
РЕШЕНИЕ

13.4 Даны два шарика массой m=1 г каждый. Какой заряд нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики как материальные точки.
РЕШЕНИЕ

13.5 В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость электрона, если радиус орбиты r=53 пм, а также частоту вращения электрона
РЕШЕНИЕ

13.6 Расстояние между двумя точечными зарядами Q1=1 мкКл и Q2=-Q1 равно 10 см. Определить силу, действующую на точечный заряд Q=0,1 мкКл, удаленный на r1=6 см от первого и на r2=8 см от второго зарядов.
РЕШЕНИЕ

13.7 В вершинах правильного шестиугольника со стороной 10 см расположены точечные заряды 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q, Q=0,1 мкКл. Найти силу, действующую на точечный заряд Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин
РЕШЕНИЕ

13.8 Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r=60 см. Сила отталкивания шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F2=160 мкН. Вычислить заряды Q1 и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними
РЕШЕНИЕ

13.9 Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии 30 см. Сила притяжения F1 шаров равна 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F2=160 мкН. Определить заряды Q1 и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.
РЕШЕНИЕ

13.10 Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии 60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд Q1 так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.
РЕШЕНИЕ

13.11 Расстояние между свободными зарядами Q1=180 нКл и Q2=720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд Q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие
РЕШЕНИЕ

13.12 Три одинаковых заряда Q=1 нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?
РЕШЕНИЕ

13.13 В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q=0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда
РЕШЕНИЕ

13.14 Тонкий стержень длиной l=10 см равномерно заряжен. Линейная плотность заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q=100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.
РЕШЕНИЕ

13.15 Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда, равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии a=20 см от его конца находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда
РЕШЕНИЕ

13.16 Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда, равной 10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится точечный заряд Q=10 нКл. Расстояние а заряда от конца стержня равно 20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда
РЕШЕНИЕ

13.17 Тонкая нить длиной l=20 см равномерно заряжена с линейной плотностью τ=10 нКл/м. На расстоянии a=10 см от нити, против ее середины, находится точечный заряд Q=1 нКл. Вычислить силу, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити
РЕШЕНИЕ

13.18 Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью т=10 мкКл/м. Какова сила, действующая на точечный заряд Q=10 нКл, находящийся на расстоянии a=20 см от стержня, вблизи его середины
РЕШЕНИЕ

13.19 Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90. Нить несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью τ=1 мкКл/м. Определить силу, действующую на точечный заряд Q=0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на a=50 см.
РЕШЕНИЕ

13.20 Тонкое кольцо радиусом R=10 см несет равномерно распределенный заряд Q=0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится точечный заряд Q1 = 10 нКл. Определить силу, действующую на точечный заряд Q со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: I)l1=20 см; 2) l2=2 м
РЕШЕНИЕ

13.21 Тонкое полукольцо радиусом R=10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью т=1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд Q=20 нКл. Определить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца
РЕШЕНИЕ

13.22 По тонкому кольцу радиусом 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью 1 нКл/м. В центре кольца находится заряд Q=0,4 мкКл. Определить силу F. растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь
РЕШЕНИЕ

Электростатика
§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел

Условия задач и ссылки на решения на тему:

Разделы

Дополнительно

Задача по физике - 8151

Расстояние $l$ между свободными зарядами $Q_ <1>= 180 нКл$ и $Q_ = 720 нКл$ равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд $Q_$ так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?

Задача по физике - 8152

Три одинаковых заряда $Q = 1 нКл$ каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд $Q_<1>$ нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым?

Задача по физике - 8153

В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды $Q = 0,3 нКл$ каждый. Какой отрицательный заряд $Q_<1>$ нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

Задача по физике - 8154

Тонкий стержень длиной $l = 10 см$ равномерно заряжен. Линейная плотность $\tau$ заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии $a = 20 см$ от ближайшего его конца находится точечный заряд $Q = 100 нКл$. Определить силу $F$ взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

Задача по физике - 8155

Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью $\tau$ заряда, равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии $a = 20 см$ от его конца находится точечный заряд $Q = 10 нКл$. Определить силу $F$ взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

Задача по физике - 8156

Тонкая бесконечная нить согнута под углом $90^< \circ>$. Нить несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью $\tau = 1 мкКл/м$. Определить силу $F$, действующую на точечный заряд $Q = 0,1 мкКл$, расположенный на продолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на $a = 50 см$.

Задача по физике - 8157

Электрическое поле создано двумя точечными зарядами $Q_ <1>= 40 нКл$ и $Q_ = - 10 нКл$, находящимися на расстоянии $d = 10 см$ друг от друга. Определить напряженность $E$ поля в точке, удаленной от первого заряда на $r_ <1>= 12 см$ и от второго на $r_ =6 см$.

Задача по физике - 8158

Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью $\sigma = 1 нКл/м^<2>$. Найти напряженность $E$ электрического поля в геометрическом центре полусферы.

Задача по физике - 8159

Найти с помощью кривой относительной спектральной чувствительности глаза (см. рис.):
а) поток энергии, соответствующий световому потоку в 1,0 лм с длиной волны 0,51 и 0,64 мкм;
б) световой поток, приходящийся на интервал длин волн от 0,58 до 0,63 мкм, если соответствующий поток энергии $\Phi_ = 4,5 мВт$, причем последний распределен равномерно по всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном интервале функция $V( \lambda)$ зависит линейно от длины волны.

Задача по физике - 8160

Точечный изотропный источник испускает световой поток $\Phi = 10 лм$ с длиной волны $\lambda = 0,59 мкм$. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового потока на расстоянии $r = 1,0 м$ от источника. Воспользоваться кривой, приведенной на рис.

Задача по физике - 8161

Найти среднюю освещенность облучаемой части непрозрачной сферы, если на нее падает:
а) параллельный световой поток, создающий в точке нормального падения освещенность $E_$;
б) свет от точечного изотропного источника, находящегося на расстоянии $l = 100 см$ от центра сферы; радиус сферы $R = 60 см$ и сила света $I = 36 кд$.

Задача по физике - 8162

Определить светимость поверхности, яркость которой зависит от направления по закону $L = L_ <0>\cos \theta$, где $\theta$ — угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.

Задача по физике - 8163

Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта. Ее яркость равна $L$. Найти:
а) световой поток, излучаемый элементом $\Delta S$ этой поверхности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен $\theta$;
б) светимость такого источника.

Задача по физике - 8164

Над центром круглого стола радиуса $R = 1,0 м$ подвешен светильник в виде плоского горизонтального диска площадью $S = 100 см^<2>$. Яркость светильника не зависит от направления и равна $L = 1,6 \cdot 10^ кд/м^<2>$. На какой высоте от поверхности стола надо поместить светильник, чтобы освещенность периферийных точек стола была максимальной? Какова будет эта освещенность?

Задача по физике - 8165

На высоте $h = 1,0 м$ над центром круглого стола радиуса $R = 1,0 м$ подвешен точечный источник, сила света которого $I$ так зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается равномерной. Найти вид функции $I( \theta)$, где $\theta$ — угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если $I(0) = I_ <0>= 100 кд$.

Чему равна напряженность электрического поля равномерно заряженного стержня с линейной плотностью t в точке, находящейся на расстоянии R от оси стержня? Углы, образованные стержнем и прямыми, проходящими через его концы и точку A равны, соответственно a₁ и p - a₂ .

Дано: t R a₁ p - a₂

Решение: Расстояние от исследуемой точки поля A до оси стержня может быть любым, поэтому заряд на стержне не является точечным. Выделим на стержне элемент длины dl (рис.11). На нем располагается элементарный заряд dq = t×dl, который можно считать точечным.

E - ?

Напряженность поля, созданного зарядом dq в исследуемой точке, можно разложить на две составляющие, одна из которых перпендикулярна, а другая - параллельна оси стержня.

(1)

Обозначим a угол между радиусом - вектором и стержнем. Радиус- вектор направлен от элемента dl к точке А. Тогда

dE_^= dE×sina , dE_|| = dE× cosa (2)

Рис. 11

Прежде чем интегрировать вы- ражения (2), нужно преобразо- вать выра жение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углуa. Выразим элемент дли- ны проводника dl через da. Из рис. 11 видно что

т.е.

, но

, т.е. r - величина переменная, зави- сит от a. Тогда

Подставив dl и r в формулу (1), получим

(3)

. (5)

Модуль вектора равен:

Чтобы избежать громоздких записей, преобразуем сначала подкоренное выражение:

(cosa₁ - cosa₂) 2 + (sina₂ - sina₁) 2 = cos 2 a₁ + cos 2 a₂ – 2cosa₁ × cosa₂ + + sin 2 a₂ + sin 2 a₁ – 2sina₂sina₁ = (sin 2 a₁ + cos 2 a₁) + (sin 2 a₂ + cos 2 a₂) – – 2(sina₁ sina₂ + cosa₁ cosa₂) = 2[1 – cos(a₁ - a₂)] = .

Тогда модуль напряженности:

(6)

Чтобы найти направление вектора , определим угол a:

Рассмотрим частный случай: точка А находится против середины стержня. Тогда из соображений симметрии E_|| = 0, E = E_^и cosa₂ = - cosa₁. С учетом этого формула (4) примет вид:

. (7)

При этом a₁ = p - a₂. Покажем, что в предельных случаях поле, образованное заряженной нитью конечной длины, переходит в электрическом поле бесконечно протяженной нити и точечного заряда. Из чертежа видно, что cosa₁ = cos(a - a₂) = , где L - длина стержня.

Произведение t×L = q, т.е. заряду, находящемуся на нити.

б) При R>>L величиной L/2 можно пренебречь, тогда и - это напряженность поля точечного заряда.

В вакууме образовалось скопление зарядов в виде тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью r =1·10 -10 Кл/м 3 и радиусом R =10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстоянии 5 см и 15 см, а также вид зависимости Е(r).

Рис. 12

E(r) = ,

т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.

Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго цилиндра, находится аналогично

По теореме Гаусса N_E(2) = = .

Приравнивая правые части равенств, найдем

E₂ = .

Зависимость Е(r) при r > R имеет вид

E(r) =

Напряженность убывает пропорционально . При r = R

E_R = =

На поверхности цилиндра напряженность имеет максимальную величину.

Проверим единицы напряженности

[E] = = = .

Произведем вычисления учитывая, что

E₂ =

На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги окружности радиуса R с центром в точке О, приходится заряд . Найдите модуль напряженности электрического поля в точке О, если угол АОВ равен .

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги АВ (рис.).

Разобьем стержень на элементарные участки длины dl с зарядом , который можно рассматривать как точечный.

Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка стержня в точке 0:

где - радиус вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность которой вычисляется. Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси у (рис.). Запишем выражение для проекции :

Приведем правую часть последнего уравнения к одной переменной интегрирования – углу (учитывая, что )

Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от до E, а правую от до , найдем модуль напряженности электрического поля, создаваемого в точке О дугой АВ:

Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля, создаваемого частью дуги окружности в ее центре :

а) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окружности радиуса R в ее центре:

б) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом радиуса R в его центре:

в) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким кольцом радиуса R в его центре:

г) Модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиуса R, если половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями заряда и .

Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок равна:

Согласно принципу суперпозиции найдем результирующее поле в центре

Из рисунка видно, что направления векторов и совпадают, поэтому результирующее поле в центре такого кольца равно

Пример 1.6

Найти модуль и направление напряженности поля в центре кольца радиуса а, по которому однородно распределен заряд q>0, а в кольце сделана прорезь шириной b .

Рассмотрим кольцо без прорези. Тогда в силу симметрии в центре кольца поле равно нулю. С другой стороны это поле является суперпозицией поля кольца с прорезью и поле заряда в прорези (рис.):

Поле , в силу малости прорези, описывается полем точечного заряда величиной q_b=qb/(2πa-b) qb/2πa, имеет величину и направлено от прорези. Поэтому и направлено от центра кольца к прорези.

Пример 1.7

Тонкое проволочное кольцо радиуса мм имеет однородно распределенный заряд мк Кл. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центре кольца поместить точечный заряд мк Кл?

Выберем на кольце элементарную дугу с зарядом . По закону Кулона сила взаимодействия зарядов и равна , где ( - линейная плотность заряда).

В равновесии величина силы равна равнодействующей приращения сил, растягивающих проволоку .

Из подобия треугольников (см. рисунок) имеем:

Пример 1.8

Кольцо радиуса из тонкой проволоки имеет однородно распределенный заряд . Найдите модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния до его центра. Исследуйте при .

Разобьем заряд кольца на бесконечно малые элементы с зарядами , которые можно рассматривать как точечные. На оси кольца выберем произвольную точку с координатой . Заряд создаст в этой точке напряженность поля , направление которого показано на рисунке, а его величина равна:

Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль оси (см. рисунок). Поэтому , где:

Учитывая, что , получим:

Суммируя вклады всех элементов кольца, найдем для проекции результирующего поля:

Рассмотрим напряженность поля на больших расстояниях .

т.е. на больших расстояниях система ведет себя как точечный заряд.

График представлен на рисунке.

Точки, в которых напряженность поля принимает максимальные значения, имеют координаты .

Пример 1.9

Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины заряжен однородно зарядом . Найдите модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния r от цента стержня до точки прямой, совпадающей с осью стержня . Исследуйте полученное выражение при .

Выделим на стержне элементарный заряд , находящийся на участке стержня , на расстоянии от начала координатной оси . В произвольной точке на оси стержня с координатой заряд создает напряженность поля величиной:

Применяя принцип суперпозиции для нахождения напряженности поля, создаваемого стержнем в искомой точке, получим:

График напряженности поля, создаваемого заряженным стержнем на его оси представлен на рисунке.

При напряженность поля , т.е. на больших расстояниях поле стержня ведет себя как поле точечного заряда q, помещенного в центр стержня.

Пример 1.10

Тонкий прямой стержень заряжен с линейной плотностью , где длина стержня, расстояние от конца стержня, положительная постоянная. Найдите модуль напряженности электрического поля при .

Разобьем заряженный стержень на бесконечно малые элементы с зарядами

Каждый заряд создает в точке напряженность поля :

Все вектора сонаправлены. Поэтому для нахождения напряженности поля , создаваемого всем заряженным стержнем в точке , применим принцип суперпозиции, суммируя величины элементарных векторов:

Пример 1.11

Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса и очень длинной однородно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд . На единицу длины нити приходится заряд . Найдите силу, с которой кольцо действует на нить.

Разобьем нить на элементарные участки длины dl с зарядом , каждый из которых можно рассматривать как точечный. На каждый точечный заряд кольцо действует с силой

где - напряженность электрического поля, создаваемого заряженным кольцом на оси на расстоянии от центра. Согласно результату примера 1.7

Подставим в выражение для величину поля и, проинтегрировав левую часть полученного уравнения от до F , а правую от 0 до , найдем силу взаимодействия кольца и нити:

Учитывая, что , приведем последнее выражение к виду удобному для интегрирования и найдем искомую величину

Пример 1.12

Полубесконечный круглый цилиндр радиуса заряжен однородно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд .

Найдите напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.

Представим, что цилиндр состоит из набора круглых тонких колец ширины каждое. Точка находится на оси этих колец.

Воспользуемся формулой для напряженности поля на оси равномерно заряженного кольца (пример1.7):

где – заряд одного кольца. Тогда

Все напряженности в точке , создаваемые кольцами направлены одинаково (против оси ). По принципу суперпозиции, имеем:

Пример 1.13

Круглая тонкая пластинка радиуса однородно заряжена с поверхностной плотностью .

Найдите модуль напряженности электрического поля на оси пластинки, как функцию расстояния от ее центра. Рассмотрите предельные случаи и .

Представим круглую пластинку в виде набора узких концентрических колец радиуса и ширины (см. рис.).

Заряд одного такого элементарного кольца равен:

где площадь этого кольца.

Используя формулу для напряженности поля на оси кольца из примера 1.7., запишем напряженность поля в произвольной точке с координатой :

Векторы направлены одинаково для всех колец пластинки (по оси , так как заряд пластинки положительный). Применив принцип суперпозиции для напряженности, найдем :

Построим график зависимости :

Рассмотрим предельные случаи:

1) при - что соответствует полю бесконечной равномерно заряженной плоскости;

2) при , учитывая что , поле пластинки можно привести к виду:

то есть на больших расстояниях поле круглой пластинки соответствует полю точечного заряда, помещенного в ее центр.

Найти напряженность электрического поля, созданного отрезком тонкой, однородно заряженной с линейной плотностью нити в точке наблюдения c координатами , (см. рис.). Углы с осью x, под которыми видна точка наблюдения из концов отрезка , и расстояние y - известны.

Вклад в напряженность поля от элемента отрезка dx равен . Поля от разных элементов отрезка отличаются как величиной, так и направлением. Поэтому для нахождения результирующего поля проинтегрируем проекции элементарных полей и . Для удобства интегрирования выразим переменные величины r и x через угол по соотношениям (см.рис.) и , . При этом и для проекций E_x и E_y получим:

Полученные формулы включают в себя все результаты расчета полей однородно заряженных отрезков. Приведем наиболее часто используемые:

Поле на перпендикуляре, проведенном из середины отрезка:

Поле бесконечного отрезка:

Поле полубесконечного отрезка в точках плоскости перпендикулярной отрезку и проходящей через его торец:

Пример 1.15

Однородно заряженная нить, на единицу длины которой приходится положительный заряд , имеет два полубесконечных прямолинейных и закругленный участки. Найдите модуль напряженности электрического поля в точке 0 для конфигурации, показанной на рисунке.

Решение. Нить, показанная на рисунке, имеет три участка - два прямолинейных полубесконечных (на рисунке участки 1 и 3) и один закругленный (на рисунке участок 2). Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции полей, создаваемых каждым из трех участков нити в точке 0.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой 0, а оси x и у совпадали с полубесконечными участками 1 и 3 (рис.).

Напряженность поля полубесконечной нити в точке , лежащей на перпендикуляре к оси нити (участок 1) будет иметь составляющие вдоль осей x и у, которые согласно результату примера 1.13, проекции которых равны

а направления показаны на рисунке.

Согласно результату примеру 1.4, напряженность поля полукольца (участок 2) в точке 0 будет направлена вдоль оси у иравна

Согласно результату задачи 1.13, результирующая напряженность поля полубесконечной нити в точке 0, лежащей на оси нити (участок 3) будет направлена вдоль оси x иравна

Сложив попарно проекции векторов, направленные вдоль осей x и у:

Найдем величину напряженности в точке 0:

то есть модуль вектора напряженности электрического поля в точке 0 равен , а направление вектора противоположно направлению оси у .

Читайте также:


Pandora dx 91 lora v 3 отличия

Порвался ремень грм на вольво xc90 дизель

Bmw e30 гудит редуктор

Самый большой санг йонг

Понижение в раздатку уаз иж техно