При каком лямбда векторы будут компланарны
Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора .
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:
Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.
Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор компланарны (см. разд. 1.1).
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение
а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .
Формула вычисления смешанного произведения
Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать.
1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.15):
Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора стандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю, получаем
т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части (см. пункт З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.
2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что
т.е. . Последнее равенство можно взять в качестве эквивалентного определения смешанного произведения.
3. Если тройка векторов является базисом пространства, то тройка векторов
образует взаимный базис.
В самом деле, указанный вектор по определению векторного произведения ортогонален векторам и ,т.е. и , а скалярное произведение равно единице, так как . Поэтому вектор содержится во взаимном базисе. Аналогичные рассуждения проводятся относительно векторов и . Поэтому базисы и взаимные.
4. Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе, то их смешанное произведение находится по формуле
Пример 1.22. Параллелепипед построен на векторах (рис.1.48). Требуется найти:
а) смешанное произведение , а также ориентацию тройки ;
б) объем треугольной пирамиды ;
в) высоту параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований ).
Решение. а) Смешанное произведение находим по формуле (1.17):
Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов — левая (см. первое геометрическое свойство смешанного произведения).
Для нахождения смешанного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.17) (см. пункт 4 замечаний 1.13). Векторам ,
По формуле пункт 4 замечаний 1.13 получаем
б) Объем составляет шестую часть объема параллелепипеда. Действительно, их высоты совпадают, а площадь основания пирамиды составляет половину площади параллелограмма . Поскольку , то
в) Высоту параллелепипеда найдем по формуле , где — площадь параллелограмма и (см. пример 1.20), то .
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
| ~ | 1 | 1 | 1 | ~ | 1 | 1 | 1 | ~ |
| 1 - 1 | 2 - 1 | 0 - 1 | 0 | 1 | -1 | |||
| 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 | |||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 | 0 | 0 | 0 |
к 3-тей строке добавим 2-рую
| ~ | 1 | 1 | 1 | ~ | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | ||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 | 0 | 0 | ||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 | 0 | 0 | 0 |
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | . |
| bx | by |
Решим это уравнение:
| n = | 2 · 9 | = 6 |
| 3 |
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 1).
|
| рис. 1 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Условия компланарности векторов
Примеры задач на компланарность векторов
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
| ~ | 1 | 1 | 1 | ~ | 1 | 1 | 1 | ~ |
| 1 - 1 | 2 - 1 | 0 - 1 | 0 | 1 | -1 | |||
| 0 | -1 | 1 | 0 | -1 | 1 | |||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 | 0 | 0 | 0 |
к 3-тей строке добавим 2-рую
| ~ | 1 | 1 | 1 | ~ | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | ||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 | 0 | 0 | ||
| 3 - 3 | 3 - 3 | 3 - 3 | 0 | 0 | 0 |
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
Читайте также: