Матрица а не имеет обратной при лямбда равном

Обновлено: 08.01.2025

, главная диагональ - единицы, остальные элементы нули.

Если Δ ≠ 0 , то матрица называется невырожденной или неособенной; иначе, если равен нулю - вырожденной или особенной.

Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.

Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.

Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле

где - алгебраические дополнения элементов a_ij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.

Вычисление -1 по формуле (1) если имеет высокий порядок трудоёмко, поэтому удобнее найти обратную с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную путём ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной Е.

Если совершённые над ЭП в том же порядке применить к единичной Е, то результатом будет обратная матрица -1 . Проще совершать ЭП над и Е одновременно, записывая обе рядом через черту | E. Если нужно вычислить А -1 , то следует использовать только строки или только столбцы.

Свойства обратной матрицы

det(A -1 ) = 1/det(A), det обозначает определитель матрицы.
(AB) -1 = A -1 B -1 для двух квадратных обратимых A и B.
(A -1 ) T = (A T ) -1 ;
(kA) -1 = A -1 /k;
(A -1 ) -1 = A;
E -1 = E;
Решение системы линейных уравнений Ax = b (b - ненулевой вектор), x - искомый вектор, если A -1 существует, то x = A -1 b.

Вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Алгоритм вычисления обратной А -1 :

Надо вычислить определитель |A|, если он не равен 0, то обратная А -1 существует.
Определяем * , матрица алгебраических дополнений _ij соответствующих элементов a_ij исходной матрицы . Сначала рассчитываем миноры M_ij - это определители, которые получаются вычёркиванием строки i и столбца j , _ij=(-1) i+j M_ij.
* = <> транспонируем - строки заменяем столбцами, *T - это союзная матрица (присоединённая, взаимная).
*T делим на |A|, обратная -1 = *T /Δ.

Пример_1. Дана 2×2 второго порядка, ? Найти обратную .

Найдём ||, он не равен 0, значит обратную -1 существует.
Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы : для первой строки, , для второй строки , .
Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) .
*T делим на Δ = -2. . Проверка

. Получена E, следовательно, обратная матрица

-1 вычислена верно.

Пример 2. Дана 3×3 третьего порядка, -1 ?.

Решение. det()?
он не равен 0, следовательно, обратная матрица -1 существует, ее можно вычислить по формуле: , где (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_ij исходной . Вычислим их:

, * = , присоединённая *T = Искомая обратная матрица -1 = *T /Δ,

Вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса-Жордана)

Пример 3. Методом элементарных преобразований вычислить -1 если = .

Решение. Приписываем к исходной справа единичную того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведём левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой "половиной".
Поменяем местами 1 со 2 столбцы: ~. К третьему прибавим первый, ко второму - первый, × на -2: . Из первого вычтем удвоенный второй, из третьего - × на 6 второй; . Прибавим третий к первому и второму: . Умножим последний на минус один: . Справа от вертикальной черты квадратная таблица размером 3х3
.

Применение обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений

Пример 4 Решить систему.

В матричной форме она примет вид: AX = B. Умножим это уравнение на -1 слева,

||== 2 + 2 -1 -1 + 4 -1 = 5. Так как он не равен 0, то - невырожденная, значит обратная -1 существует. Вычислим элементы * :

Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) , делим ее на |A|= 5.

. Корни системы определим по формуле X = -1 B =

= x = =, исходная система решена x₁= 4, x₂= 2, x₃=1.

Обращение матрицы в Excel

Эта операция выполняется с помощью функции МОБР(). Сначала введем заполним ячейки A2:C4 исходные данные. Затем выделим ячейки под результат A7:C9 и нажмем комбинацию клавиш ++. В Excel всегда при матричных операций выделяется место под результат и вводится указанная комбинация клавиш.

Часто задаваемые вопросы

Статьи по теме:

Определить, при каких значениях существует матрица, обратная данной:

Решение:

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель, матрицы :

Если , т. е. , то , т. е. матрица невырожденная, имеет обратную.

Благодаря этой странице вы научитесь сами решать такие примеры, на ней содержится полный курс лекций с примерами решения:

Другие примеры с решением возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

, главная диагональ - единицы, остальные элементы нули.

Теорема. Чтобы имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее детерминант был отличен от нуля.

Для не квадратных и вырожденных обратных матриц не существует.

Обратная матрица для , обозначается через -1 , так что В = -1 вычисляется по формуле

где - алгебраические дополнения элементов a_ij , Δ = ||. Для не квадратной Δ, обратная матрица -1 не существуют.

Свойства обратной матрицы

det(A -1 ) = 1/det(A), det обозначает определитель матрицы.
(AB) -1 = A -1 B -1 для двух квадратных обратимых A и B.
(A -1 ) T = (A T ) -1 ;
(kA) -1 = A -1 /k;
(A -1 ) -1 = A;
E -1 = E;
Решение системы линейных уравнений Ax = b (b - ненулевой вектор), x - искомый вектор, если A -1 существует, то x = A -1 b.

Вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Алгоритм вычисления обратной А -1 :

Надо вычислить определитель |A|, если он не равен 0, то обратная А -1 существует.
Определяем * , матрица алгебраических дополнений _ij соответствующих элементов a_ij исходной матрицы . Сначала рассчитываем миноры M_ij - это определители, которые получаются вычёркиванием строки i и столбца j , _ij=(-1) i+j M_ij.
* = <> транспонируем - строки заменяем столбцами, *T - это союзная матрица (присоединённая, взаимная).
*T делим на |A|, обратная -1 = *T /Δ.

Пример_1. Дана 2×2 второго порядка, ? Найти обратную .

Найдём ||, он не равен 0, значит обратную -1 существует.
Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы : для первой строки, , для второй строки , .
Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) .
*T делим на Δ = -2. . Проверка

. Получена E, следовательно, обратная матрица

-1 вычислена верно.

Пример 2. Дана 3×3 третьего порядка, -1 ?.

, * = , присоединённая *T = Искомая обратная матрица -1 = *T /Δ,

Вычисления обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса-Жордана)

Пример 3. Методом элементарных преобразований вычислить -1 если = .

Применение обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений

Пример 4 Решить систему.

В матричной форме она примет вид: AX = B. Умножим это уравнение на -1 слева,

||== 2 + 2 -1 -1 + 4 -1 = 5. Так как он не равен 0, то - невырожденная, значит обратная -1 существует. Вычислим элементы * :

Составим , транспонируем её (строки заменяем столбцами) , делим ее на |A|= 5.

. Корни системы определим по формуле X = -1 B =

= x = =, исходная система решена x₁= 4, x₂= 2, x₃=1.

Обращение матрицы в Excel

Часто задаваемые вопросы

Статьи по теме:

Многочленной матрицей (или λ -матрицей ) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной λ -матрицы n-го порядка:

Элементы λ -матрицы — это многочлены вида

где — коэффициенты; λ -матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ -матрицы далее не рассматриваются.

Любую λ -матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами :

где — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица — старший коэффициент, матрица — свободный член, неотрицательное целое число λ -матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: .

Две λ -матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:

Пример 7.1. Представить λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.

Решение. Данная λ -матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем

Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .

1. Учитывая представление λ -матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ -матрицы и равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок , одинаковую степень и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях 2. Еще один критерий равенства λ -матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ -матрицы и , степень которых не превосходит при различных значениях переменной

Операции над многочленными λ -матрицами

Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ -матрицы.

Сложение многочленных матриц ( λ -матриц)

Пусть и — λ -матрицы n-го порядка:

Суммой λ -матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:

При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:

Умножение многочленной матрицы ( λ -матрицы) на многочлен

Произведением λ -матрицы на многочлен называется λ -матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле

Произведение матрицы (7.2) на многочлен можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами

степень которого равна сумме степеней множителей.

В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ -матрицы на число .

Операция вычитания λ -матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей

Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ -матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.

Умножение многочленных матриц ( λ -матриц)

Пусть и — λ -матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле

называют произведением λ -матриц и и обозначают . Произведение λ -матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:

Транспонирование многочленных матриц ( λ -матриц)

Транспонированной для λ -матрицы называется λ -матрица , элементы которой вычисляются по формуле

Она обозначается , получаем представление транспонированной λ -матрицы в виде многочлена

Пример 7.2. Даны λ -матрицы и многочлен . Найти и .

Решение. Запишем данные λ -матрицы 2-го порядка как многочлены (степени и соответственно) с матричными коэффициентами:

Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами

Тот же результат получаем по формуле (7.4), где

Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами

Тот же результат получаем по формуле (7.5), где

Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ -матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: .

Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:

В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.

Найдем транспонированную λ -матрицу .

1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы и ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы и — ненулевые и, кроме того, , то произведение .

2. Как и у числовых матриц, произведение λ -матриц некоммутативно, т.е. (см. пример 7.2).

Определитель многочленной матрицы ( λ -матриц)

Для нахождения определителя λ -матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ -матрица при фиксированном значении λ -матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной Рангом λ -матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.

Присоединенная λ -матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ -матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство

Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят различных чисел . Для любого из них имеет место равенство

справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ -матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .

Обращение многочленных матриц ( λ -матриц)

Обратной для квадратной λ -матрицы называется λ -матрица , если

Необходимым и достаточным условием существования обратной λ -матрицы является условие , т.е. определитель обращаемой λ -матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ -матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому , где . Достаточность условия следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула

действительно определяет λ -матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.

Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.

Пример 7.3. Для λ -матрицы найти обратную λ -матрицу.

Решение. Вычислим определитель данной матрицы

Находим обратную λ -матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): . Сделаем проверку:

Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.

Делимость многочленных матриц ( λ -матриц)

Рассматривая λ -матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ -матрицы на линейный двучлен вида , где Теорема 7.1 о делимости λ -матриц на линейный двучлен. Любую λ -матрицу можно разделить слева на линейный двучлен , где , т.е. существуют единственные λ -матрица и числовая матрица такие, что , где — левое частное, — левый остаток.

Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).

Аналогично определяется деление λ -матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.

Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами

которые, разумеется, при любом значении , то получим, в общем случае, разные матрицы:

которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу — слева.

Подставляя в равенства и вместо переменной и .

Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ -матрицы слева (справа) на линейный двучлен равен левому значению (соответственно, правому значению ).

Пример 7.4. Разделить λ -матрицу на матрицу , где .

Решение. Запишем λ -матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:

Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени:

Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение . В результате получим числовую матрицу (остаток):

где — левое частное, а — левый остаток.

Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу . Выполнив эти действия, имеем

где — правое частное, — правый остаток.

Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной

1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ -матрицы. Пусть

Подставляя в эти многочлены вместо аргумента

Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .

2. Если λ -матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица λ -матрицы совпадают: .