Как найти лямбда матрицы
Многочленной матрицей (или λ -матрицей ) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной λ -матрицы n-го порядка:
Элементы λ -матрицы — это многочлены вида
где — коэффициенты; λ -матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ -матрицы далее не рассматриваются.
Любую λ -матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами :
где — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица — старший коэффициент, матрица — свободный член, неотрицательное целое число λ -матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: .
Две λ -матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:
Пример 7.1. Представить λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.
Решение. Данная λ -матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем
Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .
1. Учитывая представление λ -матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ -матрицы и равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок , одинаковую степень и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях 2. Еще один критерий равенства λ -матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ -матрицы и , степень которых не превосходит при различных значениях переменной
Операции над многочленными λ -матрицами
Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ -матрицы.
Сложение многочленных матриц ( λ -матриц)
Пусть и — λ -матрицы n-го порядка:
Суммой λ -матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:
Умножение многочленной матрицы ( λ -матрицы) на многочлен
Произведением λ -матрицы на многочлен называется λ -матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле
Произведение матрицы (7.2) на многочлен можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами
степень которого равна сумме степеней множителей.
В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ -матрицы на число .
Операция вычитания λ -матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей
Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ -матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.
Умножение многочленных матриц ( λ -матриц)
Пусть и — λ -матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле
называют произведением λ -матриц и и обозначают . Произведение λ -матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:
Транспонирование многочленных матриц ( λ -матриц)
Транспонированной для λ -матрицы называется λ -матрица , элементы которой вычисляются по формуле
Она обозначается , получаем представление транспонированной λ -матрицы в виде многочлена
Пример 7.2. Даны λ -матрицы и многочлен . Найти и .
Решение. Запишем данные λ -матрицы 2-го порядка как многочлены (степени и соответственно) с матричными коэффициентами:
Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.4), где
Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.5), где
Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ -матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: .
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.
Найдем транспонированную λ -матрицу .
1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы и ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы и — ненулевые и, кроме того, , то произведение .
2. Как и у числовых матриц, произведение λ -матриц некоммутативно, т.е. (см. пример 7.2).
Определитель многочленной матрицы ( λ -матриц)
Для нахождения определителя λ -матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ -матрица при фиксированном значении λ -матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной Рангом λ -матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.
Присоединенная λ -матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ -матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство
Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят различных чисел . Для любого из них имеет место равенство
справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ -матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .
Обращение многочленных матриц ( λ -матриц)
Обратной для квадратной λ -матрицы называется λ -матрица , если
Необходимым и достаточным условием существования обратной λ -матрицы является условие , т.е. определитель обращаемой λ -матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ -матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому , где . Достаточность условия следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула
действительно определяет λ -матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.
Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.
Пример 7.3. Для λ -матрицы найти обратную λ -матрицу.
Решение. Вычислим определитель данной матрицы
Находим обратную λ -матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): . Сделаем проверку:
Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.
Делимость многочленных матриц ( λ -матриц)
Рассматривая λ -матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ -матрицы на линейный двучлен вида , где Теорема 7.1 о делимости λ -матриц на линейный двучлен. Любую λ -матрицу можно разделить слева на линейный двучлен , где , т.е. существуют единственные λ -матрица и числовая матрица такие, что , где — левое частное, — левый остаток.
Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).
Аналогично определяется деление λ -матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.
Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами
которые, разумеется, при любом значении , то получим, в общем случае, разные матрицы:
которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу — слева.
Подставляя в равенства и вместо переменной и .
Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ -матрицы слева (справа) на линейный двучлен равен левому значению (соответственно, правому значению ).
Пример 7.4. Разделить λ -матрицу на матрицу , где .
Решение. Запишем λ -матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:
Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени:
Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение . В результате получим числовую матрицу (остаток):
где — левое частное, а — левый остаток.
Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу . Выполнив эти действия, имеем
где — правое частное, — правый остаток.
Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной
1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ -матрицы. Пусть
Подставляя в эти многочлены вместо аргумента
Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .
2. Если λ -матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица λ -матрицы совпадают: .
3. Если — обратимая λ -матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы справа на , получим . Подставим вместо . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.
Пусть A прямоугольная матрица порядка m×n любого ранга. С правой стороны матрицы А приписываем единичную матрицу E порядка m×m. Применяем к матрице A|E метод исключения Гаусса. Если на каком то этапе Гауссово исключения ведущий элемент равен нулю, и существует ненулевой элемент, расположенный ниже ведущего элемента, то LU - разложение данной матрицы невозможно. Если же элементы ниже ведущего элемента нулевые, то выбираем новый ведущий элемент той же строки и следующего столбца.
Приводим матрицу A|E к треугольному или ступенчатому виду. Получим матрицу U|L0, где U- верхняя треугольная или ступенчатая матрица, а L0- нижняя треугольная матрица. Заметим, что полученная матрица L0 приводит A к треугольному или ступенчатому виду:
Так как L0 квадратная невырожденная матрица, следовательно имеет обратную матрицу . Тогда
 | (2) |
 | (3) |
где .
Как мы отметили, не всегда можно проводить LU -разложение матрицы. Но LUP- разложение всегда возможно.
LUP-разложение матрицы A - это представление матрицы A в виде произведения
где L-нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная или ступенчатая матрица, P- матрица перестановок (матрица перестановок - эта матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой некоторых строк или столбцов).
Процедура LUP - разложения
Пусть A прямоугольная матрица порядка m×n любого ранга. С правой стороны матрицы А приписываем единичную матрицу E порядка m×m. Применяем к матрице A|E матод исключения Гаусса c выбором наибольшего по модулю ведущего элемента. Если на каком то этапе исключения ведущий элемент равен нулю, то процедуру останавливаем. Получим матрицу U|L0. Тогда имеют место равенства (1) и (2). Но в общем случае L0 и, следовательно, не являются нижними треугольными матрицами, если при применении Гауссово исключения строки переставлялись.
Далее допустим, что мы знаем, как построить матрицу A1 из матрицы A переставляя строки так, что при применении Гауссово исключения c выбором максимального по модулю ведущего элемента относительно матрицы A1 не понадобилась переставление строк. Выбираем матрицу перестановок так, что
 | (4) |
Строим матрицу A1|E и применяем Гауссово исключение. Получим матрицу U|L1. Тогда
 | (5) |
где L1 и нижние треугольные матрицы т.к. при применении Гауссово исключения строки матрицы A1 не переставлялись.
 | (6) |
Обозначим.
Наша задача найти L и U, без построения A1.
 | (7) |
Тогда, учитывая второе равенство (5), получим:
 | (8) |
 | (9) |
Получили, что для LUP-разложения нужно применить Гауссово исключение c выбором максимального по модулю ведущего элемента относительно матрицы A|E. Получим матрицу . Вычисляем обратную матрицу . Вычисляем L из выражения (9).
Матрица перестановок Р строится во время Гауссово исключения, учитывая перестановки строк.
Пример LU - разложения (A=LU)
Пример LUP - разложения (PA=LU)
LU (LUP)-разложение онлайн
Для LU(LUP)-разложения онлайн пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.
В режиме "обыкновенные дроби" нельзя оперировать с матрицами имеющими больше 10-и строк или столбцов!
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Максимальный размер матрицы для вычислений с обыкновенными дробями 10×10. Максимальный размер матрицы для вычислений c десятичными дробями 20×20;
Инструкция матричного онлайн калькулятора
С помощью матричного онлайн калькулятора вы можете сложить, вычитать, умножить, транспонировать матрицы, вычислить обратную матрицу, псевдообратную матрицу, ранг матрицы, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, возвести матрицу в степень , умножить матрицу на число , сделать скелетное разложение матрицы, удалить из матрицы линейно зависимые строки или линейно зависимые столбцы, проводить исключение Гаусса, решить матричное уравнение AX=B, сделать LU разложение матрицы, вычислить ядро (нуль пространство) матрицы, сделать ортогонализацию Грамма-Шмидта и ортонормализацию Грамма-Шмидта.
Матричный онлайн калькулятор работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби нужно в исходные матрицы и вводить числа в виде a или a/b, где a и b целые или десятичные числа (b положительное число). Например 12/67, -67.78/7.54, 327.6, -565.
Кнопка в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы , нулевой матрицы , очищать содержимое ячеек ) и т.д.
При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.
Для операций с одной матрицей (т.е. транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выбирается конкретная матрица с помощью радиокнопки .
Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.
Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы и , а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.
Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.
Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:
Вычисление обратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления обратной матрицы:
Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.
Вычисление определителя матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления определителя матрицы:
Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.
Вычисление ранга матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.
Для вычисления ранга матрицы:
Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.
Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.
Для вычисления псевдообратной матрицы:
Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.
Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:
Скелетное разложение матрицы онлайн
Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн
Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно решить матричное уравнение AX=B по отношению матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектор-столбцом, то X , будет решением системы линейных уравнений AX=B.
Для решения матричного уравнения:
Учтите, что матрицы и должны иметь равное количество строк .
Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.
Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду
LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
Данный матричный калькулятор позволяет проводить LU-разложение матрицы (A=LU) или LUP-разложение матрицы (PA=LU), где L нижняя треугольная матрица, U-верхняя треугольная (трапециевидная) матрица, P- матрица перестановок. Сначала программа проводит LU разложение, т.е. такое разложение , при котором P=E, где E-единичная матрица (т.е. PA=EA=A). Если это невозможно, то проводится LUP-разложение. Матрица A может быть как квадратной, так и прямоугольной матрицей любого ранга.
Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.
Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:
Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн
С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.
Число обусловленности матрицы показывает насколько матрица близка к матрице неполного ранга (для квадратных матриц - к вырожденности).
Рассмотрим систему линейных уравнений
Если матрица A вырожденная, то для некоторых b решение x не существует, а для других b оно будет неединственным. Следовательно, если A почти вырожденная, то можно ожидать, что малые изменения в A и b вызовут очень большие изменения в x. Если же взять в качестве A единичную матрицу, то решение системы (1) будет x=b. Следовательно, если A близка к единичной матрице, то малые изменения в A и b должны влеч за собой малые изменения в x.
Рассмотрим это на численном примере
Как видно из Рис. 1, векторы строки матрицы A - и линейно зависимы. Следовательно существует нуль-пространство N(A) ортогональное к и . Так как b∈R(A), имеем множество решений ,,. . Если же взять , то b∉R(A) и, следовательно, система линейных уравнений не имеет решения. Далее, изменим в (2) вектор строку матрицы A. Пусть . Тогда система (2) имеет единственное решение . Получили, что малое изменение в A или b совешенно меняет решение системы (2). Такие матрицы называют плохо обусловленными.
Для оченки обусловленности матрицы вычисляют число обусловленности матрицы (обозначается символом "cond"). Для вычисления числа обусловленности введем понятия нормы для векторов x. В качестве нормы возмем l-норму вектора:
Умножая вектор х на матрицу A приводит к новому вектору Ax, норма которого может слишком отличаться от нормы вектора x. Эта чувствительность матрицы A мы хотим измерять. Максимальное и минимальное изменение Ax при изменении можно задать следующими числами:
Отношение Q/q называется числом обусловленности матрицы A:
В системе (1) изменим b на Δb. Тогда имеем:
Из (1) и (7) следует A·Δx=Δb. Тогда, учитывая (4) и (5) получим следующие неравенства:
Следовательно при q≠0 имеем:
При относительном изменении правой части , относительная ошибка может составить .
Если q=0, то cond(A)=+∞, т.е. матрица неполного ранга (вырожденная). Чем больше cond(A), тем ближе матрица A к неполному рангу (к вырожденности). Чем ближе матрица к единичной матрице, тем больше cond(A) близка к 1 и , следовательно, матрица далека от неполного ранга (далека от вырожденности).
Свойства числа обусловленности матрицы:
Свойства 3 и 4 показывают, что cond(A) является лучшей критерией оценки вырожденности квадратных матриц, чем определитель. Действительно, если взять в качестве матрицы A квадратную диагональную матрицу 100×100 с элементами 0.1 на главной диагонали, то det(A)=(0.1) 100 =10 -100 , что очень малое число и показывает близость к вырожденности в то время, как строки и столбцы матрицы ортогональны и, в действительности матрица далека от вырожденности. Если же применять cond, то получим cond(A)=1.
Следующий пример иллюстрирует понятие числа обусловленности матрицы. Рассмотрим систему линейных уравнений (1), где
Тогда решением системы линейных уравнений будет . Если же правую заменить на , решением системы будет . Обозначим Δb=b-b1 и Δx=x-x1. Тогда
Из (13) видно, что очень малое изменение в b, совершенно изменил решение x. Так как
Неравенство (15) показывает что матрица A плохо обусловлена, т.е. близка к вырожденности. С помощью экспериментальных вычислений мы обнаружили плохую обусловленность матрицы A. А как, на самом деле, вычислить число обусловленности матрицы. В выражении (4) Q называется нормой матрицы и ее можно вычислить с помощью следующего вырaжения:
где aj - j-ый столбец матрицы A. Оказывается, что 1/q является нормой обратной к A (если существует) матрицы A -1 : . Тогда
Вы можете вычислить обусловленность матрицы используя матричный онлайн калькулятор. Для этого вычислите обратную к матрице A, вычислите нормы для матриц A и A -1 и, используя выражение (17), вычислите cond(A).
Многочленной матрицей (или λ -матрицей ) называется матрица, элементами которой являются многочлены переменной λ -матрицы n-го порядка:
Элементы λ -матрицы — это многочлены вида
где — коэффициенты; λ -матрицы тождественно равны нулю, сводится к числовой нулевой матрице. Поэтому нулевые λ -матрицы далее не рассматриваются.
Любую λ -матрицу n-го порядка можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами :
где — числовые квадратные матрицы n-го порядка, матрица — старший коэффициент, матрица — свободный член, неотрицательное целое число λ -матрицы (7.1). Многочлен (7.2) называется регулярным, если определитель старшего коэффициента не равен нулю: .
Две λ -матрицы и называются равными , если они имеют одинаковый порядок и равные соответствующие элементы:
Пример 7.1. Представить λ -матрицу в виде многочлена с матричными коэффициентами.
Решение. Данная λ -матрица 2-го порядка , наибольшая из степеней многочленов-элементов матрицы равна 3 . Применяя линейные операции над матрицами, получаем
Полученный многочлен не является регулярным, так как определитель старшего коэффициента равен нулю: .
1. Учитывая представление λ -матриц в виде многочленов (7.2) с матричными коэффициентами, можно показать, что λ -матрицы и равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый порядок , одинаковую степень и равные матричные коэффициенты при одинаковых степенях 2. Еще один критерий равенства λ -матриц нетрудно получить, вспоминая следствие 2 основной теоремы алгебры: λ -матрицы и , степень которых не превосходит при различных значениях переменной
Операции над многочленными λ -матрицами
Все операции, определенные для числовых матриц, переносятся на λ -матрицы.
Сложение многочленных матриц ( λ -матриц)
Пусть и — λ -матрицы n-го порядка:
Суммой λ -матриц и называется матрица n-го порядка, элементы которой вычисляются по формуле:
При этом сумма может быть представлена в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превосходит наибольшей из степеней слагаемых:
Умножение многочленной матрицы ( λ -матрицы) на многочлен
Произведением λ -матрицы на многочлен называется λ -матрица того же порядка, что и , элементы которой вычисляются по формуле
Произведение матрицы (7.2) на многочлен можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами
степень которого равна сумме степеней множителей.
В частном случае, когда многочлен тождественно равен постоянной , получаем операцию умножения λ -матрицы на число .
Операция вычитания λ -матриц и определяется как сложение матрицы с матрицей
Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число, умножение на многочлен) с λ -матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции с числовыми матрицами.
Умножение многочленных матриц ( λ -матриц)
Пусть и — λ -матрицы n-го порядка (7.3). Матрицу того же порядка, элементы которой вычисляются по формуле
называют произведением λ -матриц и и обозначают . Произведение λ -матриц можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, степень которого не превышает суммы степеней множителей:
Транспонирование многочленных матриц ( λ -матриц)
Транспонированной для λ -матрицы называется λ -матрица , элементы которой вычисляются по формуле
Она обозначается , получаем представление транспонированной λ -матрицы в виде многочлена
Пример 7.2. Даны λ -матрицы и многочлен . Найти и .
Решение. Запишем данные λ -матрицы 2-го порядка как многочлены (степени и соответственно) с матричными коэффициентами:
Найдем по определению сумму и представим ее как многочлен с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.4), где
Заметим, что степень суммы (равная двум) не превышает наибольшей из степеней слагаемых.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами
Тот же результат получаем по формуле (7.5), где
Заметим, что степень произведения равна сумме степеней множителей.
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Тот же результат получается по формуле (7.6). Заметим, что в данном случае произведение λ -матриц имеет степень меньше, чем сумма степеней множителей: .
Найдем по определению произведение и представим его в виде многочлена с матричными коэффициентами:
В данном случае степень произведения оказалась равной сумме степеней множителей.
Найдем транспонированную λ -матрицу .
1. Произведение многочленов (7.5) с матричными коэффициентами в отличие от произведения обычных многочленов может иметь степень меньше, чем сумма степеней множителей (см. пример 7.2). Действительно, старший коэффициент произведения (7.6) может быть равен нулю, даже если матрицы и ненулевые. Если хотя бы один из множителей — регулярный многочлен, то степень произведения равна сумме степеней множителей. В самом деле, если матрицы и — ненулевые и, кроме того, , то произведение .
2. Как и у числовых матриц, произведение λ -матриц некоммутативно, т.е. (см. пример 7.2).
Определитель многочленной матрицы ( λ -матриц)
Для нахождения определителя λ -матрицы используются те же правила и свойства, что и для числовых матриц, поскольку λ -матрица при фиксированном значении λ -матрицы, ее миноры и алгебраические дополнения представляют собой многочлены переменной Рангом λ -матрицы называется максимальный порядок минора, не равного тождественно нулю, т.е. , если в матрице имеется отличный от нуля минор r-го порядка, а все миноры большего порядка тождественно равны нулю или не существуют.
Присоединенная λ -матрица , транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы , представляет собой λ -матрицу, причем, как и ранее, справедливо равенство
Действительно, докажем, что , используя пункт 2 замечаний 7.1. Пусть степени левой и правой частей не превосходят различных чисел . Для любого из них имеет место равенство
справедливое для числовых матриц. Следовательно, λ -матрицы в левой и правой частях доказываемого равенства совпадают. Аналогично можно доказать равенство .
Обращение многочленных матриц ( λ -матриц)
Обратной для квадратной λ -матрицы называется λ -матрица , если
Необходимым и достаточным условием существования обратной λ -матрицы является условие , т.е. определитель обращаемой λ -матрицы должен быть отличным от нуля многочленом нулевой степени (постоянной). Необходимость следует из (7.8). Действительно, по теореме 2.2 об определителе произведения матриц имеем , т.е. произведение двух многочленов (определителей λ -матриц) равно многочлену нулевой степени. Значит, оба множителя — постоянны (многочлены нулевой степени), поэтому , где . Достаточность условия следует из теоремы 4.1 существования и единственности обратной матрицы. Формула
действительно определяет λ -матрицу. В этом можно убедиться прямой подстановкой в (7.8) с учетом (7.7) найти обратную.
Матрица , для которой существует обратная , называется обратимой.
Пример 7.3. Для λ -матрицы найти обратную λ -матрицу.
Решение. Вычислим определитель данной матрицы
Находим обратную λ -матрицу (по правилу пункта 1 замечаний 4.3): . Сделаем проверку:
Соотношения (7.8), определяющие обратную матрицу, выполняются.
Делимость многочленных матриц ( λ -матриц)
Рассматривая λ -матрицы как многочлены (7.2) с матричными коэффициентами, можно ввести операцию деления многочлена на многочлен с остатком. Нам потребуется операция деления λ -матрицы на линейный двучлен вида , где Теорема 7.1 о делимости λ -матриц на линейный двучлен. Любую λ -матрицу можно разделить слева на линейный двучлен , где , т.е. существуют единственные λ -матрица и числовая матрица такие, что , где — левое частное, — левый остаток.
Доказательство этого утверждения проводится как для обычных многочленов, только при умножении нельзя изменять порядок множителей (в силу некоммутативности произведения матриц).
Аналогично определяется деление λ -матрицы справа на . Частные и остатки при делении слева и справа в общем случае не совпадают: . При делении с остатком левое частное умножается слева на двучлен , а правое частное — справа.
Многочлен с матричными коэффициентами можно записать двумя способами
которые, разумеется, при любом значении , то получим, в общем случае, разные матрицы:
которые называются, соответственно, правым и левым значениями многочлена при подстановке матрицы матричные коэффициенты многочлена умножаются справа на матрицу — слева.
Подставляя в равенства и вместо переменной и .
Теорема 7.2 (обобщенная теорема Безу). Остаток от деления λ -матрицы слева (справа) на линейный двучлен равен левому значению (соответственно, правому значению ).
Пример 7.4. Разделить λ -матрицу на матрицу , где .
Решение. Запишем λ -матрицу как многочлен второй степени с матричными коэффициентами:
Разделим слева на , повторяя, по существу, алгоритм деления "уголком". Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени:
Продолжая процесс, прибавим к этому линейному двучлену выражение . В результате получим числовую матрицу (остаток):
где — левое частное, а — левый остаток.
Разделим справа на . Прибавляя к многочлен , получаем λ -матрицу первой степени , где . Затем к многочлену и получаем числовую матрицу . Выполнив эти действия, имеем
где — правое частное, — правый остаток.
Для проверки полученных результатов воспользуемся теоремой 7.2. Вычислим и , подставив вместо переменной
1. Выясним связь операции транспонирования с вычислением правых и левых значений λ -матрицы. Пусть
Подставляя в эти многочлены вместо аргумента
Транспонируя матрицу , получаем . Следовательно, .
2. Если λ -матрица симметрическая: , то . Если, кроме того, матрица λ -матрицы совпадают: .
3. Если — обратимая λ -матрица, то ее остаток от деления на линейный двучлен также обратимая числовая матрица. В самом деле, пусть , где — правое значение многочлена при подстановке матрицы справа на , получим . Подставим вместо . Следовательно, правый остаток — обратимая числовая матрица. Для левого остатка аналогично получаем , т.е. левый остаток — обратимая числовая матрица.
Читайте также: