Что обозначает лямбда в отношении лямбда ct c v

Обновлено: 08.01.2025

Начнём мы с традиционного (но краткого) экскурса в историю. В 30-х годах прошлого века перед математиками встала так называемая проблема разрешения (Entscheidungsproblem), сформулированная Давидом Гильбертом. Суть её в том, что вот есть у нас некий формальный язык, на котором можно написать какое-либо утверждение. Существует ли алгоритм, за конечное число шагов определяющий его истинность или ложность? Ответ был найден двумя великими учёными того времени Алонзо Чёрчем и Аланом Тьюрингом. Они показали (первый — с помощью изобретённого им λ-исчисления, а второй — теории машины Тьюринга), что для арифметики такого алгоритма не существует в принципе, т.е. Entscheidungsproblem в общем случае неразрешима.

Так лямбда-исчисление впервые громко заявило о себе, но ещё пару десятков лет продолжало быть достоянием математической логики. Пока в середине 60-х Питер Ландин не отметил, что сложный язык программирования проще изучать, сформулировав его ядро в виде небольшого базового исчисления, выражающего самые существенные механизмы языка и дополненного набором удобных производных форм, поведение которых можно выразить путем перевода на язык базового исчисления. В качестве такой основы Ландин использовал лямбда-исчисление Чёрча. И всё заверте…

λ-исчисление: основные понятия

Синтаксис

В основе лямбда-исчисления лежит понятие, известное ныне каждому программисту, — анонимная функция. В нём нет встроенных констант, элементарных операторов, чисел, арифметических операций, условных выражений, циклов и т. п. — только функции, только хардкор. Потому что лямбда-исчисление — это не язык программирования, а формальный аппарат, способный определить в своих терминах любую языковую конструкцию или алгоритм. В этом смысле оно созвучно машине Тьюринга, только соответствует функциональной парадигме, а не императивной.

Мы с вами рассмотрим его наиболее простую форму: чистое нетипизированное лямбда-исчисление, и вот что конкретно будет в нашем распоряжении.

Термы:

переменная:	x
лямбда-абстракция (анонимная функция):	λx.t , где x — аргумент функции, t — её тело.
применение функции (аппликация):	f x , где f — функция, x — подставляемое в неё значение аргумента

• Применение функции левоассоциативно. Т.е. s t u — это тоже самое, что (s t) u
  
• Аппликация (применение или вызов функции по отношению к заданному значению) забирает себе всё, до чего дотянется. Т.е. λx. λy. x y x означает то же самое, что λx. (λy. ((x y) x))
  
• Скобки явно указывают группировку действий.

Процесс вычисления

Рассмотрим следующий терм-применение:

Существует несколько стратегий выбора редекса для очередного шага вычисления. Рассматривать их мы будем на примере следующего терма:

который для простоты можно переписать как

(напомним, что id — это функция тождества вида λx.x )

В этом терме содержится три редекса:

Недостатком стратегии вызова по значению является то, что она может зациклиться и не найти существующее нормальное значение терма. Рассмотрим для примера выражение

(λx.λy. x) z ((λx.x x)(λx.x x))

Ещё одна тонкость связана с именованием переменных. Например, терм (λx.λy.x)y после подстановки вычислится в λy.y . Т.е. из-за совпадения имён переменных мы получим функцию тождества там, где её изначально не предполагалось. Действительно, назови мы локальную переменную не y , а z — первоначальный терм имел бы вид (λx.λz.x)y и после редукции выглядел бы как λz.y . Для исключения неоднозначностей такого рода надо чётко отслеживать, чтобы все свободные переменные из начального терма после подстановки оставались свободными. С этой целью используют α-конверсию — переименование переменной в абстракции с целью исключения конфликтов имён.

Так же бывает, что у нас есть абстракция λx.t x , причём x свободных вхождений в тело t не имеет. В этом случае данное выражение будет эквивалентно просто t . Такое преобразование называется η-конверсией.

На этом закончим вводную в лямбда-исчисление. В следующей статье мы займёмся тем, ради чего всё и затевалось: программированием на λ-исчислении.

Лямбда-выражения являются одним из наиболее мощных дополнений в C++11 и продолжают развиваться с каждым новым стандартом языка. В этой статье мы пройдемся по их истории и посмотрим на эволюцию этой важной части современного C++.

Вторая часть доступна по ссылке:
Lambdas: From C++11 to C++20, Part 2

Вступление

Я решил взять код у Томаса (с его разрешения!), описать его и создать отдельную статью.

Мы начнем с изучения C++03 и с необходимости в компактных локальных функциональных выражениях. Затем мы перейдем к C++11 и C++14. Во второй части серии мы увидим изменения в C++17 и даже взглянем на то, что произойдет в C++ 20.

С самого начала STL std::algorithms , такие как std::sort , могли принимать любой вызываемый объект и вызывать его для элементов контейнера. Однако в C++03 это предполагало только указатели на функции и функторы.

Но проблема заключалась в том, что вы должны были написать отдельную функцию или функтор в другой области видимости, а не в области видимости вызова алгоритма.

В качестве потенциального решения вы могли бы подумать о написании локального класса функторов — поскольку C++ всегда поддерживает этот синтаксис. Но это не работает…

Посмотрите на этот код:

Попробуйте скомпилировать его с -std=c++98 , и вы увидите следующую ошибку в GCC:

Если мы посмотрим на N3337 — окончательный вариант C++11, то увидим отдельный раздел для лямбд: [expr.prim.lambda].

Далее к C++11

Вот базовый пример кода, который также показывает соответствующий объект локального функтора:

Вы также можете проверить CppInsights, который показывает, как компилятор расширяет код:

Посмотрите на этот пример:

В этом примере компилятор преобразует:

Во что-то похожее на это (упрощенная форма):

Некоторые определения, прежде чем мы начнем:

Вычисление лямбда-выражения приводит к временному prvalue. Этот временный объект называется объектом-замыканием (closure object).

Тип лямбда-выражения (который также является типом объекта-замыкания) является уникальным безымянным non-union типом класса, который называется типом замыкания (closure type).

Несколько примеров лямбда-выражений:

Поскольку компилятор генерирует уникальное имя для каждой лямбды, узнать его заранее не представляется возможным.

Более того [expr.prim.lambda]:
Тип замыкания, связанный с лямбда-выражением, имеет удаленный ([dcl.fct.def.delete]) конструктор по умолчанию и удаленный оператор присваивания.

Поэтому вы не можете написать:

Это приведет к следующей ошибке в GCC:

Оператор вызова

По умолчанию это встроенный константный метод. Вы можете изменить его, указав mutable после объявления параметров:

Захватив переменную, вы создаете член-копию этой переменной в типе замыкания. Затем внутри тела лямбды вы можете получить к нему доступ.

• [&] — захват по ссылке, все переменные в автоматическом хранилище объявлены в области охвата
• [=] — захват по значению, значение копируется
• [x, & y] — явно захватывает x по значению, а y по ссылке

Вы можете поиграться с полным примером здесь: @Wandbox

Хотя указание [=] или [&] может быть удобно — поскольку оно захватывает все переменные в автоматическом хранилище, более очевидно захватывать переменные явно. Таким образом, компилятор может предупредить вас о нежелательных эффектах (см., например, примечания о глобальных и статических переменных)

И важная цитата:

По умолчанию operator() типа замыкания является константным, и вы не можете изменять захваченные переменные внутри тела лямбда-выражения.
Если вы хотите изменить это поведение, вам нужно добавить ключевое слово mutable после списка параметров:

В приведенном выше примере мы можем изменить значения x и y… но это только копии x и y из прилагаемой области видимости.

Захват глобальных переменных

Если у вас есть глобальное значение, а затем вы используете [=] в лямбде, вы можете подумать, что глобальное значение также захвачено по значению… но это не так.

Поиграть с кодом можно здесь: @Wandbox

Захватываются только переменные в автоматическом хранилище. GCC может даже выдать следующее предупреждение:

Это предупреждение появится только в том случае, если вы явно захватите глобальную переменную, поэтому, если вы используете [=] , компилятор вам не поможет.
Компилятор Clang более полезен, так как генерирует ошибку:

Захват статических переменных

Захват статических переменных аналогичен захвату глобальных:

Поиграть с кодом можно здесь: @Wandbox

И снова, предупреждение появится, только если вы явно захватите статическую переменную, поэтому, если вы используете [=] , компилятор вам не поможет.

Захват члена класса

Знаете ли вы, что произойдет после выполнения следующего кода:

Код объявляет объект Baz, а затем вызывает foo() . Обратите внимание, что foo() возвращает лямбду (хранящуюся в std::function ), которая захватывает член класса.

Поскольку мы используем временные объекты, мы не можем быть уверены, что произойдет, при вызове f1 и f2. Это проблема висячих ссылок, которая порождает неопределенное поведение.

Опять же, если вы укажете захват явно ([s]):

Компилятор предотвратит вашу ошибку:

Move-able-only объекты

Если у вас есть объект, который может быть только перемещен (например, unique_ptr), то вы не можете поместить его в лямбду в качестве захваченной переменной. Захват по значению не работает, поэтому вы можете захватывать только по ссылке… однако это не передаст его вам во владение, и, вероятно, это не то, что вы хотели.

Сохранение констант

Если вы захватываете константную переменную, то константность сохраняется:

Возвращаемый тип

В C++11 вы можете пропустить trailing возвращаемый тип лямбды, и тогда компилятор выведет его за вас.

Первоначально вывод возвращаемого типа значения был ограничен лямбдами, содержащими один оператор return, но это ограничение было быстро снято, поскольку не было проблем с реализацией более удобной версии.

Таким образом, начиная с C++11, компилятор может вывести тип возвращаемого значения, если все операторы return могут быть преобразованы в один и тот же тип.

Если все операторы return возвращают выражение и типы возвращаемых выражений после преобразования lvalue-to-rvalue (7.1 [conv.lval]), array-to-pointer (7.2 [conv.array]) и function-to-pointer (7.3 [conv.func]) такое же, как у общего типа;

Поиграться с кодом можно здесь: @Wandbox

В вышеприведенной лямбде есть два оператора return , но все они указывают на double , поэтому компилятор может вывести тип.

IIFE — Немедленно вызываемые выражения (Immediately Invoked Function Expression)

В наших примерах я определял лямбду, а затем вызвал ее, используя объект замыкания… но ее также можно вызывать немедленно:

Такое выражение может быть полезно при сложной инициализации константных объектов.

Преобразование в указатель на функцию

Тип замыкания для лямбда-выражения без захвата имеет открытую невиртуальную неявную функцию преобразования константы в указатель на функцию, имеющую тот же параметр и возвращаемые типы, что и оператор вызова функции типа замыкания. Значение, возвращаемое этой функцией преобразования, должно быть адресом функции, которая при вызове имеет тот же эффект, что и вызов оператора функции типа сходного с типом замыкания.

Другими словами, вы можете преобразовывать лямбды без захватов в указатель на функцию.

Поиграться с кодом можно здесь: @Wandbox

Улучшения в C++14

C++14 добавил два значительных улучшения в лямбда-выражения:

• Захваты с инициализатором
• Общие лямбды

Возвращаемый тип

Вывод типа возвращаемого значения лямбда-выражения был обновлен, чтобы соответствовать правилам автоматического вывода для функций.

Возвращаемый тип лямбды — auto, который заменяется trailing возвращаемым типом, если он предоставляется и/или выводится из операторов возврата, как описано в [dcl.spec.auto].

Захваты с инициализатором

Короче говоря, мы можем создать новую переменную-член типа замыкания и затем использовать ее внутри лямбда-выражения.

Это может решить несколько проблем, например, с типами, доступными только для перемещения.

Перемещение

Теперь мы можем переместить объект в член типа замыкания:

Оптимизация

Другая идея состоит в том, чтобы использовать его как потенциальную технику оптимизации. Вместо того, чтобы вычислять какое-то значение каждый раз, когда мы вызываем лямбду, мы можем вычислить его один раз в инициализаторе:

Захват переменной-члена

Инициализатор также можно использовать для захвата переменной-члена. Затем мы можем получить копию переменной-члена и не беспокоиться о висячих ссылках.

Поиграться с кодом можно здесь: @Wandbox

В foo() мы захватываем переменную-член, копируя ее в тип замыкания. Кроме того, мы используем auto для вывода всего метода (ранее, в C++11 мы могли использовать std::function ).

Обобщенные лямбда-выражения

Еще одно существенное улучшение — это обобщенная лямбда.
Начиная с C++14 можно написать:

Это эквивалентно использованию объявления шаблона в операторе вызова типа замыкания:

Такая обобщенная лямбда может быть очень полезна, когда трудно вывести тип.

В этой статье мы начали с первых дней лямбда-выражений в C++03 и C++11 и перешли к улучшенной версии в C++14.

Вы увидели, как создавать лямбду, какова основная структура этого выражения, что такое список захвата и многое другое.

В следующей части статьи мы перейдем к C++17 и познакомимся с будущими фичами C++20.

Вторая часть доступна здесь:

В очередном опусе Итана Сигеля резанула фраза

Пронаблюдав за удалёнными сверхновыми и измерив, как Вселенная расширялась миллиарды лет, астрономы обнаружили нечто удивительное, загадочное и неожиданное.

By observing distant supernovae and measuring how the Universe had expanded over billions of years, astronomers discovered something remarkable, puzzling and entirely unexpected

О какой неожиданности может идти речь? Там ведь совершенно шикарная история длиной в 80 лет с яркими открытиями и закрытиями. История про то, как на самом деле делается настоящая наука. История скорее про физиков, чем про физику.

О чём вообще весь сыр-бор?

Первую версию Общей Теории Относительности (ОТО) Альберт Эйнштейн представил публике 25 ноября 1915 года. В оригинале уравнения ОТО Эйнштейна выглядели вот так:

или, в современной записи, вот так:

Для неумеющего в тензоры читателя понятнее уравнение (1) в оригинальной записи Эйнштейна. Там написано, что энергия-импульс материи G равен кривизне пространства R плюс тензор Риччи S. (Этот самый тензор Риччи тоже есть кривизна, только в более другой форме).
Сейчас, решая уравнение ОТО, энергию-импульс обычно считают известным, а ищут как раз кривизну. Поэтому в современной записи стороны уравнения поменяли местами. Заодно поменяли буковки: G → T, S → R_μν.

Откуда есть пошла лямбда

Но физика — это вам не математика. Здесь нельзя взять формулу и напихать в неё добавочных слагаемых просто так. Нужно иметь очень веские основания, и теоретические, и экспериментальные.

Хотя ниже вы увидите, насколько мало Эйнштейн знал о Вселенной в те годы, но тогда, в 1916, такие основания у него были. Альберт Германович точно знал, что звёзды не попадали друг на друга и совершенно не собираются этого делать в обозримом будущем. Однако, в ОТО-1915 было только притяжение, которое нужно было чем-то сбалансировать.

Первое физическое толкование смысла лямбды

В такой трактовке ненулевое значение Λ означает, что наша Вселенная искривлена сама по себе, в том числе и при отсутствии какой-либо гравитации. Ну, вот такой нам достался мир. Однако, большинство физиков в это не верят, и считают, что у наблюдаемого искривления должна быть какая-то внутренняя причина. Какая-то неведомая доселе фигня, которую можно открыть.

На сегодняшний день измеренная кривизна пространства Вселенной таки равна нулю, но с очень паршивой точностью, порядка 0.4%. И не очень-то видно способов эту точность улучшить.
С измерениями кривизны есть две концептуальные проблемы.

Первая в том, что мы не можем измерить совсем пустое пространство, потому что просто ничего там не видим. А если там есть что-то, что мы таки видим, то пространство уже не пустое и, значит, уже дополнительно искривлено гравитацией.

Допустим, у нас есть как-то измеренные координаты объектов, плюс пачка фотографий этих объектов в разных ракурсах (снятых из разных точек). Тогда мы можем вычислить кривизну пространства. Например, гравитация Солнца отклоняет пролетающий мимо свет далёких звёзд. Во время солнечных затмений это отклонение можно измерить экспериментально и сравнить с предсказаниями ОТО.

Теперь наоборот: допустим, мы знаем кривизну пространства, и у нас есть пачка фотографий. Тогда, если кривизна достаточно хорошая, без чёрных дыр и т.п. — мы можем вычислить координаты объектов на фото. Именно так работают наши глаза, точнее мозги, когда вычисляют расстояние до объектов по двум фоткам с разных точек.

Поэтому измерить кривизну наблюдаемой Вселенной в целом мы можем только из очень окольных соображений.

Вселенная Фридмана

Meanwhile in Russia, не смотря на войны и революции, над теорией ОТО бился прапорщик (и по совместительству профессор) Александр Александрович Фридман. Он рассмотрел все варианты лямбд и выяснил следующее:

При Λ < 0 имеют место лишь силы притяжения, как гравитационные, так и вызванные кривизной впуклоговогнутого пространства. Рано или поздно звёзды и галактики в таком мире таки попадают друг на друга. Причём конец будет неожиданно быстрым и очень горячим.

Но самое интересное происходит при Λ = 0. Здесь всё зависит от начальных условий — т.е. координат и скоростей конкретных галактик. Возможны три варианта: большое сжатие, большой разлёт и стационарный вариант, когда галактики разлетаются, но с относительно небольшими скоростями и без ускорения.

Сегодня вышеописанные ситуации называются космологическими решениями Фридмана.

Статьи Фридмана 1922 и 1924 годов отменяли необходимость в лямбда-члене, из-за чего поначалу были приняты Эйнштейном в штыки.

За свою работу Фридман вполне мог претендовать на Нобелевку.

Летом 1925 он женился, поехал в свадебное путешествие в Крым, съел там немытую грушу, заразился тифом и в сентябре — умер.

И да, статья Итана про примерно такой график (конкретно на этом учтены данные на 2010 год):

Здесь по горизонтали отложено z — это красное смещение, по вертикали наблюдаемая яркость сверхновых особого типа Ia, которые всегда выделяют одно и то же количество энергии. Вообще, это два способа измерения одного и того же расстояния, но, так сказать, в разные моменты времени.

Серые палки — наблюдавшиеся события с их погрешностью измерений. Синим пунктиром отложено предсказание при Λ = 0, красной линией — аппроксимация фактически наблюдаемых значений. Отклонение красной линии от прямой означает, что Вселенная расширяется ускоренно. Но Эйнштейн об этом так и не узнал.

Вселенная Каптейна

Перейдём к экспериментальной части.

Голландский астроном Якобус Корнелиус Каптейн открыл звезду Каптейна в 1897, после чего приступил к opus magnum всей своей жизни. Объединяя огромное количество наблюдений разных обсерваторий, он попытался создать первую карту Вселенной. По его карте выходило, что вселенная имеет форму вращающегося (sic!) диска крышесносящего по тем временам размера 40000 световых лет, причём Солнце находится отнюдь не в центре, а вполне себе на задворках. Закончена и опубликована эта работа была только в 1922.

Для понимания уровня тогдашних знаний: то, что Каптейн считал невероятно огромной Вселенной, сегодня считается совершенно рядовой, ничем не примечательной среди миллиардов таких же… галактикой Млечный Путь. Тем не менее, заслуга Каптейна в том, что он открыл её вращение и приблизительно вычислил её центр.

Наблюдения Хаббла (астронома, а не телескопа)

Статью со своими открытиями, из которой следовало, что Вселенная значительно больше, чем наш Млечный путь, Хаббл представил американскому астрономическому обществу первого января 1925. За что и был освистан страдающими от похмелья коллегами, едва свыкшимися с расстояниями Каптейна.

Хаббл не унимался и прикрутил к телескопу ещё и спектрометр. Анализируя красное смещение галактик, он выяснил, что галактики разбегаются, а Вселенная, соответственно, расширяется. Заодно он открыл закон имени себя с константой имени себя (впрочем, закон был предсказан Леметром), и описал всё это в статьях к концу 20-ых годов. Согласно его наблюдениям, оказалась верна модель Фридмана для Λ = 0.

Это выбило из-под лямбды теперь уже и экспериментальные основания её существования.

Здесь ещё нужно упомянуть, что первоначальные оценки Хаббла были очень уж неточными и показывали возраст Вселенной порядка 2 миллиардов лет. Позднее это войдёт в противоречие с данными геофизиков, которые при помощи радиоизотопного анализа оценят возраст Земли в несколько миллиардов лет, и десятилетиями будет сильнейшей головной болью для физиков-космологов.

Стационарная Вселенная Хойла

С начала 30-ых годов вопрос с лямбдой считался решённым, и из мейнстримных физиков ей никто толком не занимался. Одним из редких исключений, рискнувших попереть супротив самого Эйнштейна, стал британец Фред Хойл.

Речь пойдёт о гелии. Этот элемент феноменально инертен и не хочет ни с чем реагировать. Причём не только химически, но и физически тоже, если мы говорим про гелий-4. Его ядро — альфа частица — имеет пиковую энергию связи на нуклон в своей области. см. рис из какого-то реферата:

Это значит, что альфа-частица не может присоединить дополнительные протоны или другую альфа-частицу иначе как случайно: это просто-напросто энергетически невыгодно. А в ядрах звёзд ничего кроме протонов и альфа-частиц и нет.

Возникал резонный вопрос: а откуда, собственно, взялись химические элементы тяжелее гелия?

Ближайшее ядро, в которое может превращаться гелий-4, это углерод-12. Но для этого нужно объединить три альфа-частицы.

Проблема в том, что вероятность столкновения трёх альфа-частиц одновременно слишком мала. А двухшаговый процесс (сначала сталкиваются две частицы, потом очень быстро, пока они не разлетелись обратно на две альфа-частицы, в них врезается ещё одна), в принципе, возможен, но расчёты Эдвина Солпитера показывали, что такой процесс идёт слишком вяло, чтобы производить существенные количества углерода.

Однако, по расчётам Хойла выходило, что при наличии такого уровня в три-альфа процессе наступает резонанс, и звёзды — красные гиганты производят достаточно много углерода для нашего существования.

Удивительно, но американцы решили провести небольшой эксперимент на своём ускорителе. И да — триумфально нашли нужный энергетический уровень на 7.65 МэВ, который физики-ядерщики всего мира почему-то проглядели во всех предыдущих экспериментах.

Сегодня такое возбуждённое состояние углерода-12, когда три альфа-частицы фактически выстраиваются по линии, называется хойловским. Соответствующая статья Хойла, Фаулера и супругов-астрономов Джефри и Маргерит Бёрбиджей является краеугольным камнем современных теорий звёздного нуклеосинтеза и настолько часто цитируется, что обозначается просто B²FH, без ссылок и расшифровок.

И — да, на сегодня это чуть ли не единственное известное успешное предсказание на основе антропного принципа.

Однако, из квантовых флуктуаций постоянно рождается новое вещество, причём так, что средняя плотность материи остаётся одинаковой. Расчёты показывают, что в одном кубическом километре пространства должен рождаться всего-навсего один протон раз в 300000 лет (а так же один электрон или что-то типа того для сохранения электрического заряда). Прекрасное число, чтобы исключить любую возможность какой-либо экспериментальной проверки!

Теория стационарной Вселенной серьёзно рассматривалась как альтернатива теории Большого Взрыва в 50-х и начале 60-х. Но экспериментальное открытие в 1964 году предсказанного ТББ реликтового излучения поставило на ней крест.

За статью B²FH дали Нобелевку. Но только Фаулеру, который распорядился провести десятидневный эксперимент. Ни супругам Бёрбиджам, проводившим длительные астрономические наблюдения и собственно написавшим статью, ни автору идеи Хойлу нобелевку не дали — за упорствование в космологической ереси.

Квантовая лямбда

Вернёмся к уравнению ОТО.

Слева (в современной записи) стоит кривизна пространства, сиречь гравитация по ОТО. Справа — тензор энергии-импульса. Под этим тензором стоит жутко сложный матан, но суть в следующем: там учтена вся-вся-вся материя Вселенной во всех видах и состояниях. И обычное вещество, и всякие хитрые частицы, и все виды излучений (кроме гравитации, которая слева).

Теперь мысленно перенесём лямбду вправо. В такой записи это будет не дополнительная кривизна, а какая-то неучтённая энергия (замечу, отрицательная, раз уж мы считаем лямбду положительной). И здесь просматриваются две возможности.

Первая гипотеза состоит в том, что лямбда — это энергия собственно вакуума. Звучит диковато, но на самом деле вполне согласуется с квантовой механикой. Возьмём кусок пространства и уберём из него всё, что хотя бы в принципе можно убрать. Уберём всё вещество, все частицы и все волны, независимо от их природы. Останутся только физические поля в невозмущённом состоянии. Полный штиль.

Так вот, у некоторых полей (например, Хиггсовских) в пустоте ненулевое значение. И теоретически у них есть некоторая энергия. Кроме того, в силу принципа неопределённости у любых полей есть квантовые флуктуации — и они тоже имеют некоторую энергию.

Вместо заключения

Лямбда-исчисление — это формальная система в математической логике для выражения подсчетов на основе абстракции и применения функций с использованием привязки и подстановки переменных. Это универсальная модель, которую можно применять для проектирования любой машины Тьюринга. Впервые введена лямбда-исчисления Черчем, известным математиком, в 1930-х годах.

Система состоит из построения лямбда-членов и выполнения над ними операций сокращения.

Пояснения и приложения

Вам будет интересно: Какие элементы входят в социальную структуру общества, виды и функции социальных групп

Греческая буква lambda (λ) используется в лямбда-выражениях и лямбда-терминах для обозначения связывания переменной в функции.

Лямбда-исчисление может быть нетипизировано или напечатано. В первом варианте функции могут быть применены только в том случае, если они способны принимать данные этого типа. Типизированные лямбда-исчисления слабее, могут выражать меньшее значение. Но, с другой стороны, они позволяют доказывать больше вещей.

Одной из причин того, что существует много разных типов — это желание ученых сделать больше, не отказываясь от возможности доказывать сильные теоремы лямбда-исчислений.

Вам будет интересно: Семейный этикет: основы и правила, особенности отношений с близкими родственниками

Система находит применение во многих различных областях математики, философии, лингвистики, и компьютерных наук. В первую очередь, лямбда-исчисления — это расчет, который сыграл важную роль в развитии теории языков программирования. Именно стили функционального создания реализуют системы. Они также являются актуальной темой исследований в теории этих категорий.

Для чайников

Лямбда-исчисление была введена математиком Алонзо Черчем в 1930-х годах в рамках исследования основ науки. Первоначальная система была показана как логически несовместимая в 1935 году, когда Стивен Клин и Дж. Б. Россер разработали парадокс Клини-Россера.

В последствии, в 1936 году Черч выделил и опубликовал только ту часть, которая имеет отношение к расчетам, то, что сейчас называется нетипизированным лямбда-исчислением. В 1940 он также представил более слабую, но логически непротиворечивую теорию, известную как система простого типа. В свое работе он объясняет всю теорию простым языком, поэтому, можно сказать, что Черч опубликовал лямбду исчисления для чайников.

Вам будет интересно: Профессии железнодорожников: перечень, описание, необходимое образование

До 1960-х годов, когда выяснилось его отношение к языкам программирования, λ стала лишь формализмом. Благодаря применениям Ричарда Монтегю и других лингвистов в семантике естественного языка, исчисление стало занимать почетное место как в лингвистике, так и в информатике.

Происхождение символа

Введение в лямбда исчисление

Система состоит из языка терминов, которые выбираются определенным формальным синтаксисом, и набора правил преобразования, которые позволяют манипулировать ими. Последний пункт можно рассматривать как эквациональную теорию или как операционное определение.

Все функции в лямбда-исчислении являются анонимными, то есть не имеющими имен. Они принимают только одну входную переменную, при этом каррирование используется для реализации графиков с несколькими непостоянными.

Лямбда-термины

Следующие три правила дают индуктивное определение, которое можно применять для построения всех синтаксически допустимых понятий:

Переменная x сама по себе является действительным лямбда-термином:

• если T это ЛТ, и x непостоянная, то (lambda xt) называется абстракцией.
• если T, а также s понятия, то (TS) называется приложением.

Ничто другое не является лямбда-термином. Таким образом, понятие действительно тогда и только тогда, когда оно может быть получено повторным применением этих трех правил. Тем не менее некоторые скобки могут быть опущены в соответствии с другими критериями.

Определение

Вам будет интересно: Виды контроля качества продукции при производстве

Лямбда-выражения состоят из:

• переменных v 1, v 2. v n.
• символов абстракции 'λ' и точки '.'
• скобок ().

Множество Λ, может быть определено индуктивно:

• Если x переменная, то x ∈ Λ;
• x непостоянная и M ∈ Λ, то (λx.M) ∈ Λ;
• M, N ∈ Λ, то (MN) ∈ Λ.

Обозначение

Чтобы сохранить нотацию лямбда-выражений в незагроможденном виде, обычно применяются следующие соглашения:

• Внешние скобки опущены: MN вместо (MN).
• Предполагается, что приложения остаются ассоциативными: взамен ((MN) P) можно написать MNP.
• Тело абстракции простирается дальше вправо: λx.MN означает λx. (MN), а не (λx.M) N.
• Сокращается последовательность абстракций: λx.λy.λz.N можно λxyz.N.

Свободные и связанные переменные

Оператор λ соединяет свою непостоянную, где бы он ни находился в теле абстракции. Переменные, попадающие в область, называются связанными. В выражении λ x. М, часть λ х часто называют связующим. Как бы намекая, что переменные становятся группой с добавлением Х х к М. Все остальные неустойчивые называются свободными.

Множество свободных переменных M обозначается как FV (M) и определяется рекурсией по структуре терминов следующим образом:

• FV (x) = , где x - переменная.
• FV (λx.M) = FV (M) .
• FV (MN) = FV (M) ∪ FV (N).

Формула, которая не содержит свободных переменных, называется закрытой. Замкнутые лямбда-выражения также известны как комбинаторы и эквивалентны терминам в комбинаторной логике.

Сокращение

Значение лямбда-выражений определяется тем, как они могут быть сокращены.

Существует три вида урезания:

• α-преобразование: изменение связанных переменных (альфа).
• β-редукция: применение функций к своим аргументам (бета).
• η-преобразование: охватывает понятие экстенсиональности.

Здесь речь также идет о полученных эквивалентностях: два выражения являются β-эквивалентными, если они могут быть β-преобразованы в одно и то же составляющее, а α / η-эквивалентность определяется аналогично.

Термин redex, сокращение от приводимого оборота, относится к подтемам, которые могут быть сокращены одним из правил. Лямбда исчисление для чайников, примеры:

(λ x.M) N является бета-редексом в выражении замены N на x в M. Составляющее, к которому сводится редекс, называется его редуктом. Редукция (λ x.M) N есть M [x: = N].

Если x не является свободной в M, λ х. М х также ет-REDEX с регулятором М.

α-преобразование

Альфа-переименования позволяют изменять имена связанных переменных. Например, λ x. х может дать λ у. у. Термины, которые отличаются только альфа-преобразованием, называются α-эквивалентными. Часто при использовании лямбда-исчисления α-эквивалентные считаются взаимными.

Точные правила для альфа-преобразования не совсем тривиальны. Во-первых, при данной абстракции переименовываются только те переменные, которые связаны с одной и той же системой. Например, альфа-преобразование λ x.λ x. x может привести к λ y.λ x. х, но это может не ввергнуть к λy.λx.y Последний имеет иной смысл, чем оригинал. Это аналогично понятию программирования затенения переменных.

Во-вторых, альфа-преобразование невозможно, если оно приведет к захвату непостоянной другой абстракцией. Например, если заменить x на y в λ x.λ y. x, то можно получить λ y.λ y. у, что совсем не то же самое.

В языках программирования со статической областью видимости альфа-преобразование можно использовать для упрощения разрешения имен. При этом следя за тем, чтобы понятие переменной не маскировало обозначение в содержащей области.

В нотации индекса Де Брюйна любые два альфа-эквивалентных термина синтаксически идентичны.

Замена

Изменения, написанные Е [V: = R], представляют собой процесс замещения всех свободных вхождений переменной V в выражении Е с оборотом R. Подстановка в терминах λ определяется лямбдой исчисления рекурсии по структуре понятий следующим образом (примечание: x и y - только переменные, а M и N - любое λ-выражение).

y [x: = N] ≡ y, если x ≠ y

(M 1 M 2) [x: = N] ≡ (M 1 [x: = N]) (M 2 [x: = N])

(λ x.M) [x: = N] ≡ λ x.M

(λ y.M) [x: = N] y λ y. (M [x: = N]), если x ≠ y, при условии, что y ∉ FV (N).

Для подстановки в лямбда-абстракцию иногда необходимо α-преобразовать выражение. Например, неверно, чтобы (λ x. Y) [y: = x] приводило к (λ x. X), потому что замещенный x должен был быть свободным, но в итоге был связанным. Правильная замена в этом случае (λ z. X) с точностью до α-эквивалентности. Стоит обратить внимание, что замещение определяется однозначно с верностью до лямбды.

β-редукция

Бета-редукция отражает идею применения функции. Бета-восстановительный определяется в терминах замещения: ((X V. E) Е ') является Е [V: = Е'].

Например, предполагая некоторое кодирование 2, 7, ×, имеется следующее β-уменьшение: ((λ n. N × 2) 7) → 7 × 2.

Бета-редукция может рассматриваться как то же самое, что и концепция локальной сводимости при естественной дедукции через изоморфизм Карри – Ховарда.

η-преобразование

Эта-конверсия выражает идею экстенсиональности, которая в этом контексте заключается в том, что две функции равны тогда, когда они дают одинаковый результат для всех аргументов. Эта конвертация обменивает между λ x. (F x) и f всякий раз, когда x не кажется свободным в f.

Вам будет интересно: Откуда появились славяне: определение, описание и история

Данное действие может рассматриваться как то же самое, что и концепция локальной полноты в естественной дедукции через изоморфизм Карри – Ховарда.

Нормальные формы и слияние

Для нетипизированного лямбда-исчисления β-редукция как правило переписывания не является ни сильно нормализующей, ни слабо.

Тем не менее можно показать, что β-редукция сливается при работе до α-преобразования (т. е. можно считать две нормальные формы равными, если возможно α-преобразование одной в другую).

Поэтому и сильно нормализующие члены, и слабо налаживающие понятия имеют единственную нормальную форму. Для первых терминов любая стратегия сокращения гарантированно приведет к типичной конфигурации. Тогда как для слабо нормализующих условий некоторые стратегии сокращения могут не найти ее.

Дополнительные методы программирования

Существует большое количество идиом создания для лямбда-исчисления. Многие из них были первоначально разработаны в контексте использования систем в качестве основы для семантики языка программирования, эффективно применяя их в качестве создания низкого уровня. Поскольку некоторые стили включают лямбда-исчисление (или что-то очень похожее) в качестве фрагмента, эти методы также находят применение в практическом создании, но затем могут восприниматься как неясные или чужие.

Именованные константы

В лямбда-исчислении библиотека принимает форму набора ранее определенных функций, в которой термины являются просто конкретными константами. Чистое исчисление не имеет понятия именованных неизменных, поскольку все атомные лямбда-термины являются переменными. Но их также можно имитировать, выделив непостоянную в качестве имени константы, используя лямбда-абстракцию для связывания этой изменчивой в основной части, и применить эту абстракцию к намеченному определению. Таким образом, если использовать f для обозначения M в N, можно сказать,

Авторы часто вводят синтаксическое понятие, такое как let, чтобы разрешить писать все в более интуитивном порядке.

Заметным ограничением этого let является то, что имя f не определено в M, поскольку M находится вне области привязки лямбда-абстракции f. Это означает, что атрибут рекурсивной функции не может использоваться как M с let. Более продвинутая синтаксическая конструкция letrec, которая позволяет писать рекурсивные определения функций в этом стиле, вместо этого дополнительно использует комбинаторы с фиксированной точкой.

Печатные аналоги

Данный тип является типизированным формализмом, который использует символ для обозначения анонимной функции абстракция. В этом контексте типы обычно являются объектами синтаксической природы, которые присваиваются лямбда-терминам. Точная натура зависит от рассматриваемого исчисления. С определенной точки зрения, типизированные ЛИ можно рассматривать как уточнения нетипизированного ЛИ. Но с другой стороны, их также можно считать более фундаментальной теорией, а нетипизированное лямбда-исчисление — особым случаем только с одним типом.

Типизированные ЛИ являются основополагающими языками программирования и основой функциональных, таких как ML и Haskell. И, более косвенно, императивных стилей создания. Типизированные лямбда-исчисления играют важную роль в разработке систем типов для языков программирования. Здесь типизируемость обычно захватывает желательные свойства программы, например, она не вызовет нарушения доступа к памяти.

Типизированные лямбда-исчисления тесно связаны с математической логикой и теорией доказательств через изоморфизм Карри – Говарда, и их можно рассматривать как внутренний язык классов категорий, например, который просто является стилем декартовых замкнутых.

Дифракционная решетка - оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных щелей, равноудаленных друг от друга.

Суммарная ширина щели и штриха (a+b=d) – период решетки.

! d=((a+b)*N)/N=C/N!, где С –ширина решетки, N -число штрихов на ней.

на нем: Л- линза; Р – решетка; Э - экран

Максимумы, которые образуются на экране, после интерференции вторичных волн, идущих от узких щелей, удовлетворяют условию:

!d*sin фи = k*лямбда! - формула дифракционной решетки.

фи - угол дифракции (угол отклонения от прямолинейного направления);

k - порядок спектра;

лямбда - длина волны света, освещающего решетку,

Дифракционные спектры для монохроматического света представляет собой чередование максимумов и минимумов по обе стороны от центрального механизма. Максимумы имеют цвет соответствующей длины света, освещающего решетку.

Если решетку освещать белым светом, то центральный максимум будет белым, а остальные будут представлять собой чередование цветных полос плавно переходящих друг в друга, т. к. sin фи= k*лямбда/d - зависит от длины волны света. D = к/t - угловая дисперсия решетки. R =k*N - разрешающая способность.

Диффузия в жидкости. Уравнение Фика. Уравнение диффузии для мембран.

Диффузия - самопроизвольное проникновение молекул одного вещества между молекулами других.

Явление диффузии - важный элемент диффракционирования мембран. При диффузии происходит перенос массы вещества. В биофизике это называется транспорт частиц. Основным уравнением диффузии является уравнение Фика:

где I – плотность частиц при диффузии в жидкость.

D – коэффициент диффузии.

Коэффициент 1/3 возник ввиду трехмерного пространства и хаоса в движении молекул (в среднем в каждом из 3-х направлений перемещается 1/3 часть всех молекул)

сигма - средняя длина свободного пробега молекул

тау -среднее время оседлой жизни молекул

С- массовая концентрация молекул

Х- перемещение молекул вдоль оси X

- градиент массовой концентрации

Уравнение диффузии можно записать в виде:

n – концентрация молекул.

Градиент концентрации

R- универсальная газовая постоянная; Т- абсолютная температура градиент химического потенциала,

Тогда

С - концентрация частиц. А Эйнштейн показал, что D пропорционально Т. Дня биологических мембран уравнение Фика имеет вид:

- концентрация молекул внутри клеток

- коэффициент проницаемости

l – толщина мембраны.

Дифракция света на щелях.

Дифракцией света называют явление отклонения света от прямолинейного распространения в среде с резкими неоднородностями.
Описать картину дифракции можно с учетом интерференции вторичных волн.

Рассмотрим дифракцию от узкой щели (АВ)

MN – непрозрачная преграда;

АВ=а – ширина щели;

АВ – часть волновой поверхности, каждая точка которой является источником вторичных волн, которые распространяются за щелью по разным направлениям. Линза соберет лучи А, А₁ и В в точке О₁ экрана.

АD - перпендикуляр к направлению пучка вторичных волн. Разбили ВD на отрезки =лямда/2.

АА₁, А₁В - зоны Френеля. Вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, не гасят друг друга, так как отличаются по фазе на пи. Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны лямда и угла альфа.

Если щель АВ разбить при построении на нечетное число зон Френеля, а ВD на нечетное число отрезков, равных лямда/2, то в точке О₁ наблюдается максимум интенсивности света. ВD=а*sinα=+-(2k+1)*лямда/2.

Если щель разбить на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум освещенности: а*sinα=+-2k*лямда/2=+-k*лямда.

Поэтому на экране получится система светлых (mах) и темных (min) полос симметричных относительно центра (альфа=треугольник - изменение) - наиболее яркой полосы.

Интенсивность остальных максимумов убывает с увеличением к.

3аконы излучения абсолютно чёрного тела (Стефана - Больцмана, Вина). Формула Планка. Использование термографии в диагностике.

Излучение чёрного тела имеет сплошной спектр. Графически это выглядит для разных температур так:

Существует максимум спектральной светимости, который при повышении

температуры смещается в сторону коротких волн.

По мере нагревания чёрного тела его энергетическая светимость (Re)

увеличивается: Re = опред интеграл от 0 до бескон от Eлямда*dлямда

Стефан и Больцман установили, что Re=сигма*T^4

Сигма = 5,6696*10^-8 Вт/K*м^2 - постоянная Стефана-Больцмана,

T=t+273 - абсолютная (термодинамическая) температура по шкале

Кельвина. Все замечали это на практике, чем выше температура спирали, нагретой печи, тем больше они излучают тепла.

Планк получил формулу для спектральной плотности абсолютно черного тела (Eлямда) и серого тела (r лямда) (лямда-индекс): Eлямда=2п*h*c^2/лямда^5 * 1/exp[h*c/k*T*лямда-1]

альфа - коэффициент поглощения

h - постоянная Планка;

С - скорость света в вакууме;

лямда - длина волны;

k - постоянная Больцмана;

Т - абсолютная температура.

2 Затухающие колебания и декремент затухания. Апериодические колебания.

Свободные колебания (происходящие без внешнего воздействия периодически действующей силы) являются затухающими. График затухающих колебаний имеет вид:

Амплитуда колебаний с каждым разом убывает. Затуханию способствуют силы трения и сопротивления, возникающие в средах. Пусть r-коэффициент трения, характеризующий свойство среды оказывать сопротивление движению. Тогда БЕТТА= r/2m – коэффицент затухания.

Wo= корень(K/m) – циклическая частота собственных колебаний, тогда W^2=Wo^2-БЕТТА^2, где W – циклическая частота затухания колебаний.

Быстрота затухания колебаний определяется коэффициентом затухания. Уравнение затухающих колебаний имеет вид А=Ао*l в степени минус бета*t

Ao – первоначальная амплитуда, А-амплитуда затухающих через время t.

Лямда=lnA(t)/A(t+T)=lnAo*(e в степени минус бета*t)/Ao*e^-бета*(t+T)=ln(e^ бета*t) –логарифмический декрет затухания.

!Лямда=бета*Т!- связь логарифмического декремента затухания с коэффициентом затухания. При сильно затухании колебания становятся апериодическими (если бета^2>Wo^2)

№31 Импеданс полной цепи переменного тока. Сдвиг фаз. Резонанс напряжения.

Рассмотрим последовательно соединенные R, L, C.

При последовательном соединении:

1) Uвх=U0*cosW*t=Ur+Ul+Uc – входное напряжение.

2) I=I0*cos(W*t-фи) – сила тока в цепи.

Начертим векторную диаграмму:

Ur0 – совпадает по фазе с силой тока;

Ul0 – опережает на пи/2;

Uc0 – отстает от тока на пи/2.

По теореме Пифагора: (U0)^2=(U0r)^2+(U0l-U0c)^2

Сократив обе части уравнения на (I0)^2 получим выражение для полного сопротивления (Z):

Z=квадратный корень из (R^2+(W*L-1/W*c)^2) – импеданс.

Если сопротивление катушки Xl= W*L равно сопротивлению конденсатора Xc=1/W*c, то полное сопротивление Z=R; по закону Ома Iрез=U0/Z=U0/R (Iрез – резонансный ток) – сила тока резко возрастает – РЕЗОНАНС. При этом Ul=Uc>>U0 – резонанс напряжений. Это возможно, т.к. Ul и Uc сдвинуты по фазе между собой на пи:

При этом на резисторе R выделяется максимальное количество теплоты:

№32 Импенданс тканей организма. Эквивалентная Электрическая схема. Оценка жизнеспособности тканей и органов но частотной зависимости к углу сдвига фаз.

Ткани организма проводят как постоянный так и переменный ток. Биологическая мембрана а значит и весь организм обладает емкостным сопротивлением, т.к. обладают емкостью, т.е. способны

накапливать заряд. При пропускании через живые ткани переменного тока наблюдается отставание напряжения от тока. Омические емкостные свойства биологических тканей можно моделировать используя эквивалентные электрические схемы, при любых частотах зависимость сдвига фаз и импенданса от частоты выполняется для схемы

1/Zв2=1/Rв2+1/корень(R1 в2+1/Wв2*Св2)!, где Z-полное сопротивление данной цепи, с - ёмкость.

При малых частотах: Z=R2 При больших частотах: Zmin=(R1*R2)/(R1+R2).

Графическое изображение зависимости импенданса живой ткани от частоты переменного тока.

Сдвиг фаз между током и напряжением tg фи = R/Xc=RWC (1).

Частотная зависимость сдвига фаз живой ткани. При отмирании ткани натрий-калиевый канал биологических мембран разрушается, цитоплазма

клетки (проводник) соединяется с межклеточной

жидкостью(проводник) и емкостные свойства ткани уменьшаются, а это значит, что и импенданс (Z) и сдвиг фаз (фи) меньше зависят от частоты. Мёртвая ткань обладает лишь омическим сопротивлением (R), и не зависит от частоты. Диагностический метод, основанный на регистрации изменения импенданса тканей и сдвига фаз называется РЕОГРАФИЕЙ.

Читайте также:

  
• Какие факторы определили победу в войне севера дайте оценку деятельности а линкольна
  
• Рено меган 1 иммобилайзер где находится
  
• Где находится 3 цилиндр на солярисе
  
• Не работают дворники bmw e65
  
• Какие амортизаторы лучше поставить на опель мокка